第四章 习题课
基本内容
1．线性有界泛函
f:D?X??满足f(?x??y)??f(x)??f(y)，线性． 若?x?D，|f(x)|?M||x||．——称f有界． 2．线性有界泛函的范数 ||f||?supx??|f(x)|． ||x||||x||?1 ||f||?sup|f(x)|?sup|f(x)|．
||x||?1共轭空间（Banach空间）(Rn)*?Rn，(lp)*?lq，(Lp[a,b])*?Lq，H*?H． 基本定理：
①延括定理：G?X是线性子空间，f:G?X??是线性有界泛函，则?F?X*，使（ⅰ）当x?G时，F(x)?f(x)； （ⅱ）||F||X?||f||G． ②两个推论：
?x0?X，x0??，||f||?1， （Ⅰ）（Hahn—Banach定理）设Xl.n.s，则?f?X*，f(x0)?||x0||．
（Ⅱ）设Xl.n.s，G?X是线性子空间，x0?X，d(x0,G)?0，则?f?X*，满足（ⅰ）?x?G，f(x)?0；
（ⅱ）f(x0)?d； （ⅲ）||f||?1． 3．线性有界算子
X1，X2——l.n.s，D?X1线性子空间，T:D?X2满足 T(?x??y)??T(x)??T(y)．
4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理
引理：（开映射原理）：若X1，X2是Banach空间，T?B(X1?X2)，且
R(T)?X2，则T为开映射．
① 逆算子定理：设X1，X2都是Banach空间，T:X1?X2满射，可逆的线
性有界算子，则T的逆算子T?1是有界算子．
② 闭图像定理：设X1，X2都是Banach空间，T:D(T)?X1?X2是闭算子，
其中D(T)是X1的闭子空间，则T是线性有界算子．
③ 共鸣定理：设X1是Banach空间，X2是l.n.s.{Xi|i?A}是一族X1?X2的线性有界算子，则
{||Ti|||i?A}有界??x?X1，{||Tix|||i?A}有界．
6．强收敛与弱收敛
① l.n.s中的点列的强、弱收敛．
（ⅰ）若||xn?x||?0，称{xn}强收敛于x，记为xn?x； （ⅱ）若?f?X，|f(xn)?f(x)|?0，称xn?x（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）
xn?x?（ⅰ）{||Xn||}有界；（ⅱ）?M*?X*（稠密），使?f?M*，
|f(xn)?f(x0)|?0．
***④ 算子列的各种收敛性：
（ⅰ）一致收敛：||Tn?T||?0； （ⅱ）强收敛：||Tnx?Tx||?0；
（ⅲ）弱收敛：||f(Tnx)?f(Tx)||?0，?f?X2*，x?X1． 特别泛函列fn：
（ⅰ）强收敛：||fn?f||?0（对应一致收敛）；
（ⅱ）弱*收敛：||fn(x)?f(x)||?0（对应算子列强收敛）．
7．共轭算子
设X1，X2是同一数域?上的l.n.s.T?B(X1?X2)， T*:X2*?X1*，如果对任何x?X1，f?X2*，都有
(T*f)(x)?f(Tx) 或 (x,T*f)?(Tx,f)
成立，就称T*是T的共轭算子（也称伴随算子）．
共轭算子的范数：
定理（共轭算子的范数）：设T?B(X1?X2)，T*是T的共轭算子，则T*是
X2*?X1*的线性有界算子，且有
** T X1 X1 T * X2 X2
||T*||?||T||．
定理（共轭算子的性质）： （1）(aT)*?aT*； （2）(T2?T1)*?T1*?T2*； （3）(T1?T2)*?T1*?T2*；
（4）I:X1?X2,则I*:X1*?X2*． 8．自共轭算子
H是Hilbert空间，若?x,y?H，(Tx,y)?(x,Ty)．T——自共轭算子． Th．（自共轭算子的充要条件）：H是复的Hilbert空间，T为自共轭算子??x?H，
(Tx,x)为实数．
性质：（1）特征值为实数；
泛函分析中的定理
