第十章 双线性函数与辛空间
1、 设V是数域P上的一个三维线性空间，?1，?一个线性函数，已知 f (?1+? 求f (X132，?3是它的一组基，f是V上的
)=1,f (?22-2?33)=-1,f (?1+?2)=-3
?1+X2?+X3?).
解 因为f是V上线性函数，所以有
f (?1)＋ f (? f (?23)=1
3)-2 f (?2)=-1
f (?1)+f (?解此方程组可得
)=-3
f (?1)＝4，f (?于是 f (X12)＝－7，f (?3)＝－3
?1+X2?2+X3?3).＝X1 f (?1)＋X2 f (?2)＋X3 f (?3)
＝4 X1－7 X2－3 X3 2、 设V及?1，? f (?1+?32，?3同上题，试找出一个线性函数f ,使
)=0, f (?1+?)=1
)＝f (?2-2?32解 设f为所求V上的线性函数，则由题设有
f (?1)＋ f (? f (?23)=0 )=0
)-2 f (?23 f (?1)+f (?解此方程组可得
)=1
f (?1)＝－1，f (?2)＝2，f (?3)＝1
2 于是?a?V,当a在V的给定基?1，? a= X1，?3下的坐标表示为
?1+X2?2+X3?3时，就有
f (a)=f (X1?1+X2?2+X3?3)
= X1 f (?1)＋X2 f (? =-X1+2 X2+ X3 3、 设?1，?22)＋X3 f (?3)
，?3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令
－?，?3＝?＋?
?1＝?1－?3，?2＝?1＋?2323 试证：?1，?2，?3是V的一组基，并求它的对偶基。 证： 设
（?1，?2，?3）＝（?1，? 由已知，得
2，?3）A
?110??? A＝011 ?????111?? 因为A≠0，所以?1，?2，?3是V的一组基。 设g1,g2,g3是?1，?2，?3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）?1
?01?1??? ＝（f1,f2,f3）1?12 ?????11?1?? 因此
g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3
4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V中非零向量，试证：??∈V，使 fi(?)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。
当s＝1时，f1≠0,所以??∈V，使fi(?)≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即??∈V，使fi(?)=?i≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。
若fk?1(?)≠0,则命题成立，若fk?1(?)＝0，则由fk?1≠0知，一定??∈V 使fk?1(?)＝b,设fi(?)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令????c?，则?∈V，且
* fi(?)=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)
fk?1(?)＝cb≠0
即证。
5．设?1，?2，…?s是线性空间V中得非零向量，试证： fi(?i)≠0 (i=1,2…,s)
证：因为V是数域P上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量?，则可定义V*的一个线性函数? ?且?******如下：
(f)=f(?) (f∈V*)
是V*的对偶空间（V*)*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V*)*的
映射
?→?**
?2，?2**，是一个同构映射，又因为?1，…?s是V中的非零向量，所以?1**，…?s**
对偶空间V*的对偶空间（V*)*中的非零向量，从而由上题知，?f∈V*使
f(?i)＝?i(f) ≠0 (i=1,2…,s)
即证.
6.设V＝P[x]3,对P(x)=C0+C1x+C2x∈V,定义 f1(p(x))=
2**?10p(x)dx p(x)dx p(x)dx
f2(p(x))= f3(p(x))=
??20?10试证f1， f2， f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使 f1， f2， f3是它的对偶基。
证：先证是V上线性函数，即f1∈V，对?g(x),h(x) ∈V, ?k∈P,由定义有 f1（g(x)＋h(x)）＝ ＝
*?(g(x)?h(x))dx
01?10g(x)dx＋?h(x)dx
01 ＝f1(g(x))+ f1(h(x))
f1(kg(x))=
?kg(x)dx=k?0110g(x)dx=k f1(g(x))
即证f1。同理可证f2， f3∈V*。
再设p1(x),p2(x),p3(x) 为V的一组基，且f1， f2， f3是它的对偶基。若记 P1(x)= C0+C1x+C2x2 则由定义可得
11p(x)dx＝C0+C1+C2=1 ?02328 f2(p(x))=?p(x)dx=2C0+2C1+ C2=0
03?111 f3(p(x))=?p(x)dx=-C0+C1-C2=0
023 f1(p(x))=
1 解此方程组得
C0=C1=1,C2=- 故
P1(x)=1+x- 同理可得
3 232 x 2112+ x 62112 p3(x)= -+x- x
32 p2(x)=-
7.设V是个n维线性空间，它得内积为（?，?），对V中确定得向量?，定义V上的 一个函数?*：
* ?1） 证明?*（?）=（?，?）
是V上的线性函数
**2） 证明V到V的映射是V到V的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成
自身的对偶空间。） 3） 证：1）先证明?*是V上的线性函数，即?*∈V，对??1，?2∈V，
*?k∈P，由定义有：
?*（?1＋?2）＝（?，?1＋?2）
＝（?，?1）＋（?，?2）
＝? ? 故?***（?1）＋?*（?2）
*（k?1）=（?，k?1）=k（?，?1）=k?（?1）
是V上的线性函数。
22）设?1，? ?知
*i…?n是V的一组标准正交基，且对??∈V由定义
（?）＝（?i?）(i=1,2…,n)
?*i（?j）＝（?i，?j）＝?*?1,i?j
0,i?j?2于是?1，?*2…?*n是?1，?…?n的对偶基，从而V到V的映射是V与V
**中两基间的一个双射因此它也是V到V*的一个同构映射 8．设A是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。
1）证明，对V上现行函数f，fA仍是V上的线性函数； 2）定义V*到自身的映射为f→fA证明A3）设?1，?2*是V*上的线性变换；
2…?n是V的一组基，f1， f2， fn是它的对偶基，并设A在?1，?*…
?n的矩阵为A。证明：A在f1， f2，… fn下的矩阵为A′。
证：1）对??∈V，由定义知（fA）（?）＝f（A（?））是数域P中唯一确定的元，所以fA是V到P的一个映射。
又因为??，?∈V，?k∈P,有（fA）（?＋?）＝f（A（?＋?）） ＝f（A（?）＋A（?）） ＝（fA）（?）＋（fA）（?） （fA）（k?）＝f（A（k?））= f（k A（?）） =k f（A（?））=k（fA）（?） 所以fA是V上线性函数。 2）对?f∈V，有A3）由题设知
A（?1，?设A*2**（f）= fA∈V,故A**是V上的线性变换。
*…?n）＝（?1，?2…?n）A
（f1， f2，… fn）＝（f1， f2，… fn）B
(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案
