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2012全国高中数学联赛挑战极限--------[平面几何试题]
1. 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，
C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC． P A
C Q B
D
2、如图，M，N分别为锐角三角形?ABC（?A??B）的外接圆?上弧⌒BC 、⌒AC的中点．过点C作PC∥MN交圆?于P点，I为?ABC的内心，连接PI并延长交圆?于T．
⑴ 求证：MP?MT?NP?NT； ⑵ 在弧⌒AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记?AQC，△QCB的内心分别为I1，I2，求证：Q，I1，I2，T四点共圆．
PNITAQCMB
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3.一圆O切于两条平行线l1,l2，第二个圆eO1切l1于A，外切eO于C，第三个圆eO2切l2于B，外切eO于D，外切eO1于E，AD交BC于Q，求证Q是?CDE的外心。 （35届IMO预选题）
4. 如图，给定凸四边形ABCD，?B??D?180o，P是平面上的动点， 令f(P)?PA?BC?PD?CA?PC?AB．
（Ⅰ）求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆；
AE3BC（Ⅱ）设E是?ABC外接圆O的?，AB上一点，满足：??3?1，
AB2EC1?ECB??ECA，又DA,DC是eO的切线，AC?2，求f(P)的
2最小值．
图1
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5. 在直角三角形ABC中，?ACB?90?，△ABC 的内切圆O分别与边BC，
CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，
若?BPC?90?，求证：AE?AP?PD．
6. 给定锐角三角形PBC，PB?PC．设A，D分别是边PB，PC上的点，连接
AC，BD，相交于点O. 过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，线
段BC，AD的中点分别为M，N．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求证：EM?FN?EN?FM； （2）若 EM?FN?EN?FM，是否一定有A，B，C，D四点共圆？证明你的结论． ．
QPAENORDFBMC文案大全
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7. 如图，已知△ABC内切圆I分别与边AB、BC相于点F、D，直线AD、CF分别交圆I于另一点H、K.
FD?HK?3. 求证：错误!未找到引用源。
FH?DK
A H F I K B D
C
8.如图10,⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K, 求证：AK平分BC.
A
C BFP QKE
O
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参考答案
1.证明：连结AB，在△ADQ与△ABC中，∠ADQ=∠ABC，∠DAQ=∠PBC=∠CAB
BCDQ，即BC·AD＝AB·DQ ?ABADPCAC 又由切割线关系知△PCA∽△PAD得 ； ?PAADPCBC 同理由△PCB∽△PBD得 20分 ?PBBDACBC 又因PA＝PB，故，得 AC·BD＝BC·AD＝AB·DQ ?ADBD 故△ADQ∽△ABC，而有
10分
30分
又由关于圆内接四边形ACBD的托勒密定理知 AC·BD＋BC·AD＝AB·CD
1CD，即CQ＝DQ 40分 2ADDQCQ 在△CBQ与△ABD中，，∠BCQ＝∠BAD，于是△CBQ∽△ABD， ??ABBCBC 于是得：AB·CD＝2AB·DQ，故DQ＝
故∠CBQ＝∠ABD，即得∠DBQ＝∠ABC∠PAC．
2.[解析]： ⑴ 连NI，MI．由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形．
因此NP?MC，PM?NC．
PNCMITBA
AM，CI，则AM与CI交于I，因为
?MIC??MAC??ACI??MCB??BCI??MCI，所以MC?MI．同理NC?NI．
于是NP?MI，PM?NI．
故四边形MPNI为平行四边形．因此S△PMT?S△PNT（同底，等高）．
连
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205全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】
