f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， 又f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.
注意：(补充)
（1）若f(a?x)?f(a?x)（或f(x)?f(2a?x)）
则函数f(x)关于x若f(x)??f(2a?x)
则函数f(x)关于点
推广：若函数
?a对称。
?a,0?对称。
a?b。 2f(x)恒满足f(a?x)?f(b?x)
则f(x)图象的对称轴为x?（2）已知奇函数f?x?的图象关于直线x?a对称，
若偶函数f?x?的图象关于直线x?a对称，
则f?x?是周期函数，且4a为其中的一个周期
则f?x?是周期函数，且2a为其中的一个周期
温故知新 P14 第6、10题
练习：(补充) 1、已知定义在R上的奇函数f?x?的图象关于直线x?1对称，并且当x??0,1时, f?x??x?1
2?则f(462)?_____
[答案] 0
[解析] f?x?是奇函数故f??x???f?x?
f?x?的图象关于直线x?1对称故f?2?x??f?x? f?2?x??f??x???f?x?f?4?x??f?x?
f(462)?f(115?4?2)?f?2?
f?2?x??f?x?故f?2??f?0??0
2、设f?x?是定义在R上的奇函数，
1对称， 2则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?_____
且y?f(x)的图象关于直线x?
答案：0
3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
分析：由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[－2,0]上的解析式，进而可得f(x)在[2,4]上的解析式．
解析：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
2
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x， ∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时， f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.
例4. (补充) 温故知新 P13 第2题
f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)的解最少有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解析：∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数， ∴f(5)＝f(2)＝0，f(－1)＝f(2)＝0，f(－1)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，f(4)＝f(1)＝0，
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(3)＝f(0)＝0，
∵f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)， ∴f(1.5)＝0，从而f(4.5)＝0，
∴f(1)＝f(1.5)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝f(4.5)＝f(5)＝0.
答案：D
练习：
f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)解的个数至少是( )
A．1 B．4 C．3 D．2
[答案] B
[解析] 由f(2)＝0，得f(5)＝0， ∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.
∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0， f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0，
故f(x)＝0在区间(0,6)的解至少有1,2,4,5四个．
练习.已知定义在R上的奇函数f?x?的图象关于直线
x?1对称，并且当x??0,1?时，f(x)?x2?1 （1）当x???1,0?时，求f?x?的表达式；
（2）证明f?x?是周期函数，并且求出它的一个周期； （3）当x??4,5?时，求f?x?。
2答案：（1）当x??1,0?时f(x)??x?1
?（2）f?x?是周期为4的周期函数 （3）当x??4,5时f(x)??x?4??1
?2
函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳
