f(3)=f(-1)=-f(1)=-1, 又f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.
注意:(补充)
(1)若f(a?x)?f(a?x)(或f(x)?f(2a?x))
则函数f(x)关于x若f(x)??f(2a?x)
则函数f(x)关于点
推广:若函数
?a对称。
?a,0?对称。
a?b。 2f(x)恒满足f(a?x)?f(b?x)
则f(x)图象的对称轴为x?(2)已知奇函数f?x?的图象关于直线x?a对称,
若偶函数f?x?的图象关于直线x?a对称,
则f?x?是周期函数,且4a为其中的一个周期
则f?x?是周期函数,且2a为其中的一个周期
温故知新 P14 第6、10题
练习:(补充) 1、已知定义在R上的奇函数f?x?的图象关于直线x?1对称,并且当x??0,1时, f?x??x?1
2?则f(462)?_____
[答案] 0
[解析] f?x?是奇函数故f??x???f?x?
f?x?的图象关于直线x?1对称故f?2?x??f?x? f?2?x??f??x???f?x?f?4?x??f?x?
f(462)?f(115?4?2)?f?2?
f?2?x??f?x?故f?2??f?0??0
2、设f?x?是定义在R上的奇函数,
1对称, 2则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?_____
且y?f(x)的图象关于直线x?
答案:0
3、设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011).
分析:由f(x+2)=-f(x)可得f(x+4)与f(x)关系,由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[-2,0]上的解析式,进而可得f(x)在[2,4]上的解析式.
解析:(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
2
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x, ∴f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈[2,4]时, f(x)=x2-6x+8.
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011)=0.
例4. (补充) 温故知新 P13 第2题
f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)的解最少有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
解析:∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数, ∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0,f(-1)=-f(1),
∴f(1)=0,f(4)=f(1)=0,
又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0, ∴f(3)=f(0)=0,
∵f(1.5)=f(1.5-3)=f(-1.5)=-f(1.5), ∴f(1.5)=0,从而f(4.5)=0,
∴f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=f(5)=0.
答案:D
练习:
f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)解的个数至少是( )
A.1 B.4 C.3 D.2
[答案] B
[解析] 由f(2)=0,得f(5)=0, ∴f(-2)=0,f(-5)=0.
∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0,
故f(x)=0在区间(0,6)的解至少有1,2,4,5四个.
练习.已知定义在R上的奇函数f?x?的图象关于直线
x?1对称,并且当x??0,1?时,f(x)?x2?1 (1)当x???1,0?时,求f?x?的表达式;
(2)证明f?x?是周期函数,并且求出它的一个周期; (3)当x??4,5?时,求f?x?。
2答案:(1)当x??1,0?时f(x)??x?1
?(2)f?x?是周期为4的周期函数 (3)当x??4,5时f(x)??x?4??1
?2
函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳
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