答案：B
注意：
抽象函数奇偶性应立足定义，
即从考虑
f?x?与f??x?的关系入手
例2. (补充) 定义在R上的函数y＝f(x)，
对任意实数x1、x2都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)， 判断函数y＝f(x)的奇偶性，并证明．
解析：令x1＝x2＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0.
令x1＝x，x2＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x) ∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(x)是奇函数． 注意：(补充)
抽象函数奇偶性、单调性判断（证明）均立足定义 1、抽象函数奇偶性判断（证明） 赋值法，从考虑
f?x?与f??x?的关系入手
2、抽象函数的单调性判断（证明） 赋值法，在指定区间任取x1?x2，
从考虑f(x1)、f(x2)的大小关系入手
3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质或寻找思路，但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的一般函数进行推理 抽象函数关系式 相应的模型函数 f(x)?kx f(x?y)?f(x)?f(y) f(x?y)?f(x)?f(y) f(xy)?f(x)?f(y) xf()?f(x)?f(y) yf(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y) f(xy)?f(x)?f(y) f(x)?ax(a?0,a?1) f(x)?logax(a?0,a?1) f(x)?logax(a?0,a?1) f(x)?cosx f(x)?xn f(x)?tanx f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y)
练习：(补充)
1、已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果x>0时，f(x)<0，并且f(1)＝－2， 试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
解析：(1)证明：∵函数定义域为R，
∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得， ∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0， ∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0. ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
(2)解：设x1 则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1) ＝f(x2)－f(x1)． ∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0. 即f(x)在R上单调递减． 从而f(x)在[－2,6]上为减函数． ∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值． ∵f(1)＝－2，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1， ∴f(－2)＝－f(2)＝1， f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3. ∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 2、已知函数y＝f(x)对任意x、y∈R，均有 1 1 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－ 2. 3 (1)判断并证明f(x)在R上的单调性； (2)求f(x)在[－3,3]上的最值． 解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数 证明如下： 令x＝y＝0，∴f(0)＝0，令y＝－x可得： f(－x)＝－f(x)， 在R上任取x1、x2且x1 ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． 又∵x>0时，f(x)<0， ∴f(x2－x1)<0，即f(x2) 由定义可知f(x)在R上为单调递减函数． (2)∵f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．∴f(－3)最大，f(3)最小． f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1) ＝3× 2＝－2. 3∴f(－3)＝－f(3)＝2. 即f(x)在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2. （四）函数的周期性 例1.《名师一号》P19 对点自测 5 3?? 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f?x＋?， 2?? 且f(1)＝2，则f(2 014)＝________. 3?? 解析 ∵f(x)＝－f?x＋?， 2?? 3???3?3?? ∴f(x＋3)＝f??x＋?＋?＝－f?x＋?＝f(x)． 2????2?2? ∴f(x)是以3为周期的周期函数． 则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2. （五）函数奇偶性、单调性、周期性的综合应用 例1. (补充) 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞， fx2－fx1 0](x1≠x2)，有>0.则f(－2)，f(1)，f(3) x2－x1 从小到大的顺序是________． fx2－fx1 解析：由>0知f(x)在(－∞，0]上 x2－x1 单调递增，
函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳
