答案:B
注意:
抽象函数奇偶性应立足定义,
即从考虑
f?x?与f??x?的关系入手
例2. (补充) 定义在R上的函数y=f(x),
对任意实数x1、x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2), 判断函数y=f(x)的奇偶性,并证明.
解析:令x1=x2=0得,f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.
令x1=x,x2=-x得,f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(-x)+f(x)=0,∴f(x)是奇函数. 注意:(补充)
抽象函数奇偶性、单调性判断(证明)均立足定义 1、抽象函数奇偶性判断(证明) 赋值法,从考虑
f?x?与f??x?的关系入手
2、抽象函数的单调性判断(证明) 赋值法,在指定区间任取x1?x2,
从考虑f(x1)、f(x2)的大小关系入手
3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质或寻找思路,但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的一般函数进行推理 抽象函数关系式 相应的模型函数 f(x)?kx f(x?y)?f(x)?f(y) f(x?y)?f(x)?f(y) f(xy)?f(x)?f(y) xf()?f(x)?f(y) yf(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y) f(xy)?f(x)?f(y) f(x)?ax(a?0,a?1) f(x)?logax(a?0,a?1) f(x)?logax(a?0,a?1) f(x)?cosx f(x)?xn f(x)?tanx f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y)
练习:(补充)
1、已知函数f(x),当x、y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)如果x>0时,f(x)<0,并且f(1)=-2, 试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
解析:(1)证明:∵函数定义域为R,
∴在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y=-x得, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.
(2)解:设x1 则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0. 即f(x)在R上单调递减. 从而f(x)在[-2,6]上为减函数. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. ∵f(1)=-2,∴f(2)=f(1)+f(1)=-1, ∴f(-2)=-f(2)=1, f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3. ∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3. 2、已知函数y=f(x)对任意x、y∈R,均有 1 1 f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2. 3 (1)判断并证明f(x)在R上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最值. 解析:(1)f(x)在R上是单调递减函数 证明如下: 令x=y=0,∴f(0)=0,令y=-x可得: f(-x)=-f(x), 在R上任取x1、x2且x1 ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). 又∵x>0时,f(x)<0, ∴f(x2-x1)<0,即f(x2) 由定义可知f(x)在R上为单调递减函数. (2)∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.∴f(-3)最大,f(3)最小. f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1) =3× 2=-2. 3∴f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2. (四)函数的周期性 例1.《名师一号》P19 对点自测 5 3?? 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f?x+?, 2?? 且f(1)=2,则f(2 014)=________. 3?? 解析 ∵f(x)=-f?x+?, 2?? 3???3?3?? ∴f(x+3)=f??x+?+?=-f?x+?=f(x). 2????2?2? ∴f(x)是以3为周期的周期函数. 则f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=2. (五)函数奇偶性、单调性、周期性的综合应用 例1. (补充) 定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞, fx2-fx1 0](x1≠x2),有>0.则f(-2),f(1),f(3) x2-x1 从小到大的顺序是________. fx2-fx1 解析:由>0知f(x)在(-∞,0]上 x2-x1 单调递增,
函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳
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