点C，点C即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（66分） 19．（8分）解不等式组请结合题填空，完成本题的解答 （Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 （Ⅱ）解不等式②，得 x＜3
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x＜3
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得：x≥﹣1， （Ⅱ）解不等式②，得：x＜3，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， 故答案为：x≥﹣1、x＜3、﹣1≤x＜3．
【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．（8分）某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生每天参加户外活动的时间情况，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题； （Ⅰ）在图①中，m的值为 20 ，表示“2小时”的扇形的圆心角为 54 度； （Ⅱ）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得m的值和表示“2小时”的扇形的圆心角的度数；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以求得这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数． 【解答】解：（Ⅰ）m%=1﹣40%﹣25%﹣15%=20%， 即m的值是20，
表示“2小时”的扇形的圆心角为：360°×15%=54°， 故答案为：20、54；
（Ⅱ）这组数据的平均数是：众数是：1， 中位数是：1．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．
21．（10分）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
=
，
（Ⅰ）如图1，当∠ACD=45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明； （Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
【分析】（Ⅰ）连接OD，如图1，理由圆周角定理得到∠AOD=90°，则OD⊥AB，再理由平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DE为⊙O的切线； （Ⅱ）连接OC，如图1，利用垂径定理得到AB⊥CD，再利用圆周角定理得到∠COF=60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OF=，CF=
，所以CD=2CF=，AF=，接着
证明AF为△CDE的中位线得到DE=2AF=3，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、 理由如下：连接OD，如图1， ∵∠AOD=2∠ACD=2×45°=90°， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线； （Ⅱ）连接OC，如图1， ∵点F是CD的中点， ∴AB⊥CD，CF=DF， ∵∠COF=2∠CAB=60°， ∴OF=OC=，CF=∴CD=2CF=
OF=
，
，AF=OA+OF=，
∵AF∥AD，F点为CD的中点， ∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线， ∴DE=2AF=3，
∴△CDE的面积=×3×
=
．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了圆周角定理和垂径定理．
22．（10分）某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米运的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米
（Ⅰ）求∠BAD的正切值；
（Ⅱ）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）
【分析】（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i． BF=（Ⅱ）在Rt△BCF中，﹣
=
EF=，在Rt△CEF中，
=
，得到方程BF﹣EF=
=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．
【解答】解：（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G， 则四边形BGDF是矩形， ∴BG=DF=5米， ∵AB=13米， ∴AG=∴tan∠BAD=
=12米， =1：2.4；
（Ⅱ）在Rt△BCF中，BF=在Rt△CEF中，EF=∵BE=4米， ∴BF﹣EF═
﹣
=4，
=
，
=，
解得：CF=16．
∴DC=CF+DF=16+5=21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．
23．（10分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数．在实施过程中发现：每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系． （Ⅰ）根据题意完成下列表格 票价x（元） 参观人数y（人）
10 7000
15 4500
x
﹣500x+12000
18 3000
（Ⅱ）在这样的情况下，如果要确保每周有40000元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应定位多少元？
（Ⅲ）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？
【分析】（Ⅰ）由题意可知每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系，把点（10，7000）（15，4500）分别代入y=kx+b，求出k，b的值，即可把表格填写完整； （Ⅱ）根据参观人数×票价=40000元，即可求出每周应限定参观人数以及门票价格应定位； （Ⅲ）先得到二次函数，再配方法即可求解．
【解答】解：（I）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b， 把（10，7000）（15，4500）代入y=kx+b中得
，
解得
，
∴y=﹣500x+12000， x=18时，y=3000，
故答案为：﹣500x+12000，3000；
（II）根据确保每周4万元的门票收入，得xy=40000
天津市南开区2018年中考数学二模试卷（含答案）
