1992年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题
本题共有8个题，每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内
1. 满足 |a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）的个数是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
2. 若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，则判别式δ＝b2－4ac与平方式M＝(2ax0＋b)2的关系是（ ）
(A) δ＞M (B) δ＝M (C) δ＜M (D) 不确定
3. 若x2－13x＋1＝0，则x4＋x-4的个位数字是（ ）
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7
4. 在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于2，则这个多边形的边数必为（ ）
(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 y 5. 如图，正比例函数y＝x和y＝ax（a＞0）的 k
图像与反比例函数y＝（k＞0）的图像分别相交 x
于A点和C点，若Rt△AOB和△COD的面积 分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ） A (A) S1＞S2 (B) S1＝S2
C
(C) S1＜S2 (D)不确定 O B D x
6. 在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S2，则
S1的整数部分是（ ） S2(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
7. 如图,在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB＝2CD，∠A＝60°，又E是底边AB上一点，且FE＝FB＝AC，FA＝AB，则AE:EB等于（ ）
(A) 1:2 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 3:10
F
D C
A B E
8. 设x1，x2，x3，…… x9均为正整数，且x1＜x2＜x3＜……＜x9, x1＋x2＋x3＋……＋x9＝220则当x1＋x2＋x3＋x4＋x5的值最大时，x9－x1的最小值是（ ）
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
二、填空题
1. 若一等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等15cm，则这个等腰三角形的面积等于________________
1?x2?x4?1?x42. 若x≠0，则的最大值是__________.
x
3. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于E点，若BC＝2，AC＝3，则AE ?EB＝ .
4. 若a，b都是正实数，且
111ba???0，则()3?()3? . aba?bab
第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2－6x＋a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.
二、如图，在△ABC中，AB＝AC，D底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED＝2∠CED＝∠A 求证：BD＝2CD A E B C
D
三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A：320651 B：105263 C：612305 D：316250
已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同 试求：M和N
1992全国初中数学联合竞赛试卷答案
第一试
一．选择题
1.(C)
?a?b?1由??(1,0)(0,1). ?ab?0又由??a?b?0,?ab?1?(1,1).
∴共有3对.
2.(B)
设x0是方程的根,则ax0?bx0?c?0. 所以(2ax0?b)2?4a2x0?4abx0?b2 ?4a(ax0?bx0?c)?b2?4ac ?b?4ac.
3.(D)
2?12?22由x?13x?1?0知x?0.所以x?x?13,x?x?13?2?167.
2222x4?x?4?1672?2,从而x2?x?4的个位数字为9－2＝7.
4.(C)
若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于
2.
5.(B)
设A点的坐标为(x1,y1),C点的坐标为(x2,y2), 则x1y1?x2y2?k.
∴S1?
6.(B)
1111OB?AB?x1y1?x2y2?OD?CD?S2. 2222
据正方形的对称性,只需考虑它的
'
1部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的4'面积之和为S1，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为S2，则
S'1?4??8，S'2?15?4?.
S'14S14??84.56∴ '?. ??S24S215?4?2.44故
S1的整数部分是1. S2
7.(B)
设CD?1,则FA?AB?2,易证BC?1AB?1,?ABC?90?, 2FE?FB?AC?3.
∵△ABF ∽△FBE
ABBFBF23∴＝ ，BE＝＝ BFBEAB21
于是AE＝ ，所以AE∶EB＝1∶3
2
8.（B）
（1）先证x1＋x2＋x3＋x4＋x5≤110，则x5≥25
从而x6≥26，x7≥27，x8≥28，x9≥29，于是x1＋x2＋x3＋……＋x9＞220与假设矛盾.
（2）若取x1＝20，x2＝21，x3＝22，x4＝23，x5＝24，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝110.所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5当取得最大值时，x1最大的值是20
（3）若取x6＝26，x7＝27，x8＝28，x9＝29，则＝110. 所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5当取得最大值时，x9最小的值是29
因此x9－x1的最小值是29－20＝9
1992年全国初中数学竞赛试题及答案(修正版)
