欧阳史创编 2024..02.10
立体几何大题练习（文科）：
时间：2024.02.10 创作：欧阳史 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=ABCD．
（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；
（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为面△SAB的面积．
【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．
【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=
，
，求侧
，侧面SAD⊥底面
设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，
可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，
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由余弦定理可得AD=则BD⊥AD，
=a，
由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；
（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为由AD=SD=a，
在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a， △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=由SH⊥平面BCD，可得 ×
a××a2=
，
a，
，
解得a=1，
由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB=又AB=2a，
在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为
=
a， a=
a=
．
=
=2a，
则△SAB的面积为×SA×
【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题．
2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱
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AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．
【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；
（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．
【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面， 所以AB∥EF，
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，
因为BC⊥BD，FG∥BC， 所以FG⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD， 又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F， 所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG， 故AD⊥AC．
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立体几何大题练习(文科)之欧阳史创编
