高中数学基本不等式的解法十例

由天下分享时间：2025/3/13 8:17:42 加入收藏我要投稿点赞

高中数学基本不等式问题求解十例

一、基本不等式的基础形式

1．a2?b2?2ab，其中a,b?R，当且仅当a?b时等号成立。 2．a?b?2ab，其中a,b??0,???，当且仅当a?b时等号成立。

a2?b2?a?b?23．常考不等式：，其中a,b??0,???，当且仅当a?b时等号成立。 ???ab??112?2??ab二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：

（1）积定和最小：若ab是定值，那么当且仅当a?b时，?a?b?min?2ab。其中a,b??0,??? （2）和定积最大：若a?b是定值，那么当且仅当a?b时，?ab?max例题1：若实数a,b满足2?2?1，则a?b的最大值是．

ab2?a?b????，其中a,b?R。 ?2?2?2a?2b?1ab??2a?b?2?2?a?b??2，解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2?2???4?2?当且仅当a?b??1时取等号。变式：函数y?ax?12(a?0,a?1)的图象恒过定点A，若点在直线mx?ny?1上，则mn的最大值为______。

解析：由题意可得函数图像恒过定点A?1,1?，将点A?1,1?代入直线方程mx?ny?1中可得m?n?1，明

1?m?n?1显，和为定，根据和定积最大法则可得：mn??，当且仅当时取等号。 ?m?n??224??例题2：已知函数f?x??2?x212x?2，则f?x?取最小值时对应的x的值为__________．

x解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2?12x?2?22x?12x?2?1，当且仅当

2x?12x?2?x??1时取等号。

1的最小值为。 x?21解析：由题意可得x?2?0,?x?2???1，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：

x?2变式：已知x??2，则x?x?2?1?2x?2?x?2??11?2，当且仅当x?2??x?2?1?x??1时取等号，此时可x?2x?2得x?1?0。 x?2x

≤a恒成立，则a的取值范围是________．

x2＋3x＋1

例题3：若对任意x>0，

解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。xx???a?a??? 22x?3x?1?x?3x?1?max解法1：将xx1化简可得??x?0?，观察分母，很明显可以得到积为定值，221x?3x?1x?3x?1x??3x111?2x??2，当且仅当x??x?1时取等号。故而可得分式的xxx根据积定和最小的法则可得：x?分母x?1111?x1?a?，因此可得：。 ?3?5?0????2??15x5x?1?3x5??maxx??3xx1x1fx?x?化简可得，令?x?0???x?0?，这是一个对??x2?3x?1xx2?3x?1x?1?3x11?f?1??2。故而分母x??3?f?x??3?5，代入分式函数取倒数xx解法2：将勾函数，故而可得f?x??x?可得0?111?x1?a?因此可得：。 ???2??15x??35?x?1?3x?max5x问题2：“1”的代换解题思路：根据f?x??m?f?x??m?0?，对所求内容进行乘除化简即可。 m14y??1 ，且不等式x?＜m2?3m有解，则实数m的取值范围是。 xy4例题4：若两个正实数x、y满足

y??14??x??????4??xy?1414y?解析：由题意可得??1，左边乘以??1可得：x??，化简可得：

41xyxyy4xy??14?y4x??，很明显中积为定值，根据积定和最小的法则可得：x???1?1??????4xy4??xy?4xy??x?2y4xy??14?y4xy4x?当且仅当时取等号。故而可得?x??????4。??1????2??2，

4xy4xy4xy4??xy???y?8不等式x?yy??＜m2?3m有解，亦即m2?3m??x???4，亦即m2?3m?4?0，解得m?4或者

4?min4?m??1，故而可得m????,?1???4,???。

变式：若x?0， y?0，且

12??2，则4x?3y的最小值为__________．

2x?yx?y14??2乘以所求内容可得：

2x?y2x?2y解析：由?2x?y??2?x?y??4x?3y，化简题干条件可得

?1?14?4??4x?3y????????2x?y?2x?2y?2x?y2x?2y2x?y2x?2y??4x?3y????，化简后可得：

222x?2y4?2x?y???4?12x?2y4?2x?y?2x?y2x?2y?4x?3y?，很明显中二者积为定值，根据积定和最

2x?y2x?2y2小法则可得

2x?2y4?2x?y?2x?2y4?2x?y?2x?2y4?2x?y???2，??2??4，当且仅当