【解答】解:(Ⅰ)证明:QABCD?A1B1C1D1是长方体,?B1C1?平面DCC1D1. 又QDE?平面DCC1D1,?B1C1?DE.
(Ⅱ)QAB?2,E是棱D1C1的中点,?EC1?1,
?VE?DB1C1?VB1?DEC1?SVDEC1gB1C1??gDD1gEC1gB1C1???1?1?1?13113211321. 6
19.(12分)某单位利用“学习强国”平台,开展网上学习,实行积分制.为了了解积分情况,随机调查了50名员工,得到这些员工学习得分频数分布表: 得分 人数 [0,10) [10,20) 5 10 [20,30) [30,40) [40,50) 15 13 7 (Ⅰ)求这些员工学习得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (Ⅱ)用分层抽样的方法从得分在[10,20)和[20,30)的员工中选取5人.从选取的5人中,再任选取2人,求得分在[10,20)和[20,30)中各有1人的概率. 【解答】解:(Ⅰ)记这50名员工学习得分的平均数为x, 则x?1?(5?5?15?10?25?15?35?13?45?7)?26.4. 50(Ⅱ)用分层抽样可知从[10,20)中选2人,记这2人分别为a1,a2; 从[20,30)中选3人,记这3人分别为b1,b2,b3. 从a1,a2,b1,b2,b3中再任取2人的情况有:
a1a2,a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,b1b2,b1b3,b2b3共10种.
其中得分在[10,20)和[20,30)中各有1人的情况有: a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3共6种.
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记事件A为“得分在[10,20)和[20,30)中各有1人”则P(A)?20.(12分)已知函数f(x)?lnx?ax(a?R). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)?lnx?ax的定义域为(0,??),f?(x)?①当a?0时,由f?(x)?0,知f(x)在(0,??)内单调递增. ②当a?0时,由f?(x)?0,即由f?(x)?0,即
11?a?0得0?x?, xa63?. 1051?a. x1111?a?0得x?,?f(x)在(0,)内单调递增;在(,??)内单调递减. xaaa因此,①当a?0时,f(x)在(0,??)内单调递增.
11②当a?0时,f(x)在(0,)内单调递增;在(,??)内单调递减.
aa(Ⅱ)f(x)有两个零点. 即:方程lnx?ax?0有两个实根, 即:方程a?lnx有两个实根, xlnx1?lnx有两个公共点,g?(x)?. xx2即:函数y?a和g(x)?由g?(x)?0,即:由g?(x)?0,即:
?g(x)max?g(e)?1?lnx?0,?0?x?e. x21?lnx?0,?x?e. 2x1. e1又g()??e?0,
e当x?1时,
?当0?a?1lnx?0,?0?a?,
ex1时,f(x)?lnx?ax有两个零点. e21.(12分)如图,已知抛物线C:y2?8x的焦点是F,准线是l. (Ⅰ)写出焦点F的坐标和准线l的方程;
(Ⅱ)已知点P(8,8),若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A,B(均与P不重合),直线PA,PB分别交l于点M,N求证:MF?NF.
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【解答】解:(I)抛物线的焦点为F(2,0), 准线l的方程为:x??2;
(Ⅱ)
由(I)知:设直线AB的方程为:x?2?my(m?R), ?x?2?my令A(x1,y1),B(x2,y2),?2,
y?8x?消去x得:y2?8my?16?0, 由根与系数的关系得:y1y2??16.
y?8x?8y?88y?8x,y?2, ?(x?8)?8?22y2?8x2?8y2y2?8?888y?168y?16当x??2时,y?2,?N(?2,2),
y2?8y2?8uuuruuuur8y1?168y2?168y?16).?FN?(?4,),FM?(?4,1), 同理得:M(?2,y1?8y2?8y1?8直线PB方程为:
?
uuuruuuur8y?168y1?1616(y2?8)(y1?8)?(8y2?16)(8y1?16)80(y1y2?16)80(?16?16)FNgFM?16?2?????0y2?8y1?8(y2?8)(y1?8)(y2?8)(y1?8)(y2?8)(y1?8),
uuuruuuur?FN?FM,?MF?NF.
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(二)选考题:共10分,考生从22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]
?x?23cos??(?为参数)22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程?.直线l的
y?2sin?????x?3?tcos?(t为参数)参数方程?.
y?1?tsin???(Ⅰ)求曲线C在直角坐标系中的普通方程;
(Ⅱ)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,当曲线C截直线l所得线
?段的中点极坐标为(2,)时,求直线l的倾斜角.
6
??x?23cos?【解答】解:(I)由曲线C的参数方程?,(?为参数).
y?2sin???x?cos????23 得:??sin??y??2x2y2?曲线C的参数方程化为普通方程为:??1.
124?(II)解法一:中点极坐标(2,)化成直角坐标为(3,1).
6设直线l与曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,?x12???12则?2?x2???12y12?1①4 2y2?1②4x1?x2y?y2?3,1?1. 2222x2?x12y2?y12②?①得??0,
124化简得:
y2?y1x?x233??12????. x2?x13(y1?y2)3?233?tan?. 3即kl??又Q??(0,?),
?直线l的倾斜角为
5?. 6第14页(共16页)
?解法二:中点极坐标(2,)化成直角坐标为(3,1),
6?x2y2?x?3?tcos?将?分别代入??1,
124y?1?tsin???(3?tcos?)2(1?tsin?)2得??1.
124?(cos2??3sin2?)t2?(6sin??23cos?)t?6?0, ?t1?t2??6sin??23cos??0, 22cos??3sin?即?6sin??23cos??0.
?
sin?33,即tan??? ??cos?33又Q??(0,?),
?直线l的倾斜角为
5?. 6[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)?|x?a|(x?2)?|x?2|(x?a). (Ⅰ)当a?2时,求不等式f(x)?0的解集; (Ⅱ)若x?(0,2)时f(x)…0,求a的取值范围.
【解答】解:(I)当a?2时,f(x)?|x?2|(x?2)?|x?2|(x?2), 由f(x)?0得|x?2|(x?2)?|x?2|(x?2)?0. ①当x…2时,原不等式可化为:2(x?2)2?0, 解之得:x??.
②当x?2时,原不等式可化为:?2(x?2)2?0, 解之得x?R且x?2,?x?2. 因此f(x)?0的解集为:{x|x?2}.
(II)当x?(0,2)时,f(x)?|x?a|(x?2)?|x?2|(x?a)?(x?2)[|x?a|?(x?a)]. 0得(x?2)[|x?a|?(x?a)]…0, 由f(x)…?|x?a|?x?a,
?x?a…0, ?a?x,x?(0,2),
?a?0,
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2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(文科)
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