【解答】解：（Ⅰ）证明：QABCD?A1B1C1D1是长方体，?B1C1?平面DCC1D1． 又QDE?平面DCC1D1，?B1C1?DE．
（Ⅱ）QAB?2，E是棱D1C1的中点，?EC1?1，
?VE?DB1C1?VB1?DEC1?SVDEC1gB1C1??gDD1gEC1gB1C1???1?1?1?13113211321． 6
19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 人数 [0，10) [10，20) 5 10 [20，30) [30，40) [40，50) 15 13 7 （Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 【解答】解：（Ⅰ）记这50名员工学习得分的平均数为x， 则x?1?(5?5?15?10?25?15?35?13?45?7)?26.4． 50（Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20)中选2人，记这2人分别为a1，a2； 从[20，30)中选3人，记这3人分别为b1，b2，b3． 从a1，a2，b1，b2，b3中再任取2人的情况有：
a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3共10种．
其中得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的情况有： a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3共6种．
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记事件A为“得分在[10，20)和[20，30)中各有1人”则P(A)?20．（12分）已知函数f(x)?lnx?ax(a?R)． （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f(x)?lnx?ax的定义域为(0,??)，f?(x)?①当a?0时，由f?(x)?0，知f(x)在(0,??)内单调递增． ②当a?0时，由f?(x)?0，即由f?(x)?0，即
11?a?0得0?x?， xa63?． 1051?a． x1111?a?0得x?，?f(x)在(0,)内单调递增；在(,??)内单调递减． xaaa因此，①当a?0时，f(x)在(0,??)内单调递增．
11②当a?0时，f(x)在(0,)内单调递增；在(,??)内单调递减．
aa（Ⅱ）f(x)有两个零点． 即：方程lnx?ax?0有两个实根， 即：方程a?lnx有两个实根， xlnx1?lnx有两个公共点，g?(x)?． xx2即：函数y?a和g(x)?由g?(x)?0，即：由g?(x)?0，即：
?g(x)max?g(e)?1?lnx?0，?0?x?e． x21?lnx?0，?x?e． 2x1． e1又g()??e?0，
e当x?1时，
?当0?a?1lnx?0，?0?a?，
ex1时，f(x)?lnx?ax有两个零点． e21．（12分）如图，已知抛物线C:y2?8x的焦点是F，准线是l． （Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；
（Ⅱ）已知点P(8,8)，若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A，B（均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M，N求证：MF?NF．
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【解答】解：(I)抛物线的焦点为F(2,0)， 准线l的方程为：x??2；
（Ⅱ）
由(I)知：设直线AB的方程为：x?2?my(m?R)， ?x?2?my令A(x1，y1)，B(x2，y2)，?2，
y?8x?消去x得：y2?8my?16?0， 由根与系数的关系得：y1y2??16．
y?8x?8y?88y?8x，y?2， ?(x?8)?8?22y2?8x2?8y2y2?8?888y?168y?16当x??2时，y?2，?N(?2,2)，
y2?8y2?8uuuruuuur8y1?168y2?168y?16)．?FN?(?4,)，FM?(?4,1)， 同理得：M(?2,y1?8y2?8y1?8直线PB方程为：
?
uuuruuuur8y?168y1?1616(y2?8)(y1?8)?(8y2?16)(8y1?16)80(y1y2?16)80(?16?16)FNgFM?16?2?????0y2?8y1?8(y2?8)(y1?8)(y2?8)(y1?8)(y2?8)(y1?8)，
uuuruuuur?FN?FM，?MF?NF．
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（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
?x?23cos??(?为参数）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程?．直线l的
y?2sin?????x?3?tcos?(t为参数）参数方程?．
y?1?tsin???（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线
?段的中点极坐标为(2,)时，求直线l的倾斜角．
6
??x?23cos?【解答】解：(I)由曲线C的参数方程?，(?为参数）．
y?2sin???x?cos????23 得：??sin??y??2x2y2?曲线C的参数方程化为普通方程为：??1．
124?(II)解法一：中点极坐标(2,)化成直角坐标为(3,1)．
6设直线l与曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，?x12???12则?2?x2???12y12?1①4 2y2?1②4x1?x2y?y2?3,1?1． 2222x2?x12y2?y12②?①得??0，
124化简得：
y2?y1x?x233??12????． x2?x13(y1?y2)3?233?tan?． 3即kl??又Q??(0,?)，
?直线l的倾斜角为
5?． 6第14页（共16页）
?解法二：中点极坐标(2,)化成直角坐标为(3,1)，
6?x2y2?x?3?tcos?将?分别代入??1，
124y?1?tsin???(3?tcos?)2(1?tsin?)2得??1．
124?(cos2??3sin2?)t2?(6sin??23cos?)t?6?0， ?t1?t2??6sin??23cos??0， 22cos??3sin?即?6sin??23cos??0．
?
sin?33，即tan??? ??cos?33又Q??(0,?)，
?直线l的倾斜角为
5?． 6[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f(x)?|x?a|(x?2)?|x?2|(x?a)． （Ⅰ）当a?2时，求不等式f(x)?0的解集； （Ⅱ）若x?(0,2)时f(x)…0，求a的取值范围．
【解答】解：(I)当a?2时，f(x)?|x?2|(x?2)?|x?2|(x?2)， 由f(x)?0得|x?2|(x?2)?|x?2|(x?2)?0． ①当x…2时，原不等式可化为：2(x?2)2?0， 解之得：x??．
②当x?2时，原不等式可化为：?2(x?2)2?0， 解之得x?R且x?2，?x?2． 因此f(x)?0的解集为：{x|x?2}．
(II)当x?(0,2)时，f(x)?|x?a|(x?2)?|x?2|(x?a)?(x?2)[|x?a|?(x?a)]． 0得(x?2)[|x?a|?(x?a)]…0， 由f(x)…?|x?a|?x?a，
?x?a…0， ?a?x，x?(0,2)，
?a?0，
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2024年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(文科)
