(2) 因P{X?1}P{Y?3}?故X与Y不独立
6161????P{X?1,Y?3}, 10101001013.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
2 5 8 (1)求关于X和关于Y的边缘分布; (2) X与Y是否相互独立 【解】(1)X和Y的边缘分布如下表
2 5 8 P{Y=yi} P{X?xi} (2) 因P{X?2}P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为
1??e?y/2,fY(y)=?2??0,y?0,其他.
(1)求X和Y的联合概率密度;
(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.
y?1?2?1,0?x?1,e,y?1,【解】(1) 因fX(x)??? fY(y)??? ?20,其他;??0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.
题14图
(2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是
??(2X)2?4Y?0
故 X2≥Y, 从而方程有实根的概率为:
P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy
1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]
?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为
?1000,x?1000,f(x)=? ?x2?其他.?0,求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时,FZ(z)?0
(2) 当0 1000)(如图a) zX?z} YFZ(z)???y?xz6??yz10106dxdy??103dy?322dx 10xyx2y2z?103106?z =?103?2?3?dy? zy?2z?y?? 题15图 (3) 当z≥1时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b) FZ(z)???y?xz6??zy10106dxdy??3dy?322dx 1010xyx2y2?103106?1 =?3?2?3?dy?1? 10zy?2z?y??1?1??2z,z?1,?z即 fZ(z)??0?z?1, ?,2?其他.?0,???1?2z2,z?1,?1故 fZ(z)??0?z?1, ?,2?其他.?0,??16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202) 分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180h的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),则Xi~N(160,202), 从而 P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}P{X2?180} P{X3?180}P{X4?180} ?[1?P{X1?180}][1?P{X2?180}][1?P{X3?180}][1?P{X4?180}] ??180?160???[1?P{X1?180}]4??1????? 20?????[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.417.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…, P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 iP{Z=i}=?p(k)q(i?k),i=0,1,2,…. k?0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数, 所以 {Z?i}?{X?Y?i} ?{X?0,Y?i}{X?1,Y?i?1}{X?i,Y?0} 于是
概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)



