概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)

(2) 因P{X?1}P{Y?3}?故X与Y不独立

6161????P{X?1,Y?3}, 10101001013.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

2 5 8 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表

2 5 8 P{Y=yi} P{X?xi} (2) 因P{X?2}P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0,其他.

（1）求X和Y的联合概率密度；

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

y?1?2?1,0?x?1,e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)??? ?20,其他;??0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.

题14图

(2) 方程a2?2Xa?Y?0有实根的条件是

??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：

P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy

1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]

?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为

?1000,x?1000,f（x）=? ?x2?其他.?0,求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)?0

（2） 当0

1000）(如图a) zX?z} YFZ(z)???y?xz6??yz10106dxdy??103dy?322dx

10xyx2y2z?103106?z =?103?2?3?dy?

zy?2z?y??

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

FZ(z)???y?xz6??zy10106dxdy??3dy?322dx

1010xyx2y2?103106?1 =?3?2?3?dy?1?

10zy?2z?y??1?1??2z,z?1,?z即 fZ(z)??0?z?1, ?,2?其他.?0,???1?2z2,z?1,?1故 fZ(z)??0?z?1, ?,2?其他.?0,??16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）

分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180h的概率.

【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），

从而

P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}P{X2?180}

P{X3?180}P{X4?180} ?[1?P{X1?180}][1?P{X2?180}][1?P{X3?180}][1?P{X4?180}]

??180?160???[1?P{X1?180}]4??1????? 20?????[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.417.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

iP{Z=i}=?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，….

k?0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以

{Z?i}?{X?Y?i}

?{X?0,Y?i}{X?1,Y?i?1}{X?i,Y?0}

于是