习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示
三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和
Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0 1 2 3 1 0 C131113??? 22282C3111???3/8 0 2221111??? 22283
1 80 0 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0 1 2 3 0 0 0 22C3C23 ?4C7351C3C232 ?4C7351 0 12C163C2C2 ?4C73521C3C1122C2 ?4C7351C323C2 ?4C7352 216P(0黑,2红,2C13C2C2?4白)= 24C22C2/C7?C735 22C3C23 ?4C7350 1 35
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22
?其他.?0,πππ?求二维随机变量（X，Y）在长方形域??0?x?,?y??内的概
?463?率.
【解】如图P{0?X?,?Y?}公式(3.2)
ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636
ππ46π3?sin?ππππππsin?sinsin?sin0sin?sin0sin4346362(3?1).4
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?
0,其他.?求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由??????f(x,y)dxdy??0得 A=12
?????????0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12（2） 由定义，有
F(x,y)???yx????f(u,v)dudv
yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,y?0,x?0, 其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??100?12e2?(3x?4y)dxdy?(1?e)(1?e)?0.9499.?3?8
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,
其他.?0,f（x，y）=?（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?18
（2） P{X?1,Y?3}???????f(x,y)dydx
?1313 k(6?x?y)dydx??0?28813(3) P{X?1.5}?1.5x?1.5??f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D14 ??0dx?2127(6?x?y)dy?. 832(4) P{X?Y?4}?X?Y?4??f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
D2 ??20dx?4?x212(6?x?y)dy?. 83
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，）上服从均匀分布，
Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY（y）=?
其他.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,而
概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)
