西南交通大学2004～2005学年（2）
高等数学II期末试题
题目 得分 三 一 二 1 2 四 五 六 七 八 总 分 一、单项选择题（每小题3分，共15分）。 1．极限
3x?y（ C ）。
(x,y)?(0,0)x?ylim（A）等于0； （B）等于
1； 21也不等于0 2（C）不存在； （D）存在但不等于
2．设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，则下列结论正确的是（ A ）。 （A）f(x0,y)在y?y0处的导数等于零； （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零； （C）f(x0,y)在y?y0处的导数小于零； （D）f(x0,y)在y?y0处的导数不存在 3． 下列级数中发散的级数是（ C ）。
???(?1)n111（A）?； （B）? ； （C）?； （D）?n
nnn?1n?1n(n?1)n?1n?12?4．微分方程y???5y??6y?xe2x的特解形式是（ D ）。 （A）ae2x?(bx?c) ； （B）(ax?b)e2x；
（C）x2(ax?b)e2x ； （D）x(ax?b)e2x
5．?为平面z?4?2x?y被柱面x2?y2?2所截的部分，则曲面积分
。 I????2x?y?z?dS的值为（ C ）
?（A）8?； （B）16?； （C）86?； （D）166? 二、填空题（每小题4分，共20分）。
91．二重积分??xydxdy＝（其中D是由直线y?1,x?2及y?x所围成的闭区
8D域）。
2．曲面2z?ez?2xy?3在点（1，2，0）处的切平面方程为
4(x?2)?2(y?1)?z?0。
3．周期为2?的函数f(x)?2?x (???x??)的傅里叶级数的和函数为
s(x)，则其在x??5?处的值s(?5?)等于 2 。
4．曲线积分I??Lx2?y2ds（其中L是圆周：x2?y2?9）的值为
54?。
1nx的收敛域（要考察端点）为[?3,3)。 nn?13n?5． 幂级数?三、解答下列各题（每小题8分，共24分）。
1．函数z?z(x,y)由方程F(xy,z?2x)?0确定，F(u,v)可微，且Fv??0。求
x?z?z?y。 ?x?yFy?Fx?Fu?y?2Fv??z?z?zFu?x?z???y?2x。 解：??，??，所以x???x?x?y?yFz?Fv?Fz?Fv?
2．交换积分次序?dx?01x202?x20f(x,y)dy??21dx?f(x,y)dy。
2解：?1dx?x200f(x,y)dy??21dx?2?x20f(x,y)dy??0dy2?y0?yf(x,y)dy
3．设一矩形的周长为a，现让它绕其一边旋转，问矩形的长和宽分别为多少时所得圆柱体的体积最大。 解：如图设长为x，宽为 y，则x?y?ax
2。绕AB旋转，得到圆柱体的体积V??y2x，因此
V??y2x??y2(a2?y)。令Vay??0，解得y?3。于是
当x?a，yaA B
6?3时圆柱体的体积最大。
四、（9分）计算I???x2dydz?zdxdy，其中?为曲面z?x2?y2介于z?0及z?4?之间部分的下侧。
解法一：补充z?4的上侧?1。于是
I???x2dydz?zdxdy
??x2dydz?zdxdy????????x2dydz?zdxdy1?1????(2x?1)dxdydz????zdxdy?1????dxdydz???4dxdy
?Dxy??2?d??200rdr?4r2dz?16???8?解法二：I1???x2dydz?0，
?I2?22???zdxdy???y2)dxdy???x2???(xy2?4?2d??r300dr??8?
I???x2dydz?zdxdy??8?
?解法三：曲面z?x2?y2的法向量为(2x,2y,?1)/1?4x2?4y2，
y
dydz??2xdxdy，因此
I???x2dydz?zdxdy???(?2x3?z)dxdy??8?。
??五、（9分）设?(0)?径L无关。
1，?(x)可微，且曲线积分?[ex??(x)]ydx??(x)dy与积分路2L（1）求函数?(x)； （2） 求积分?(1,1)(0,0)[ex??(x)]ydx??(x)dy的值。
解：（1）令P?[ex??(x)]y，Q??(x)。由曲线积分?[ex??(x)]ydx??(x)dy与积
L分路径L无关，Qx??Py?，即??(x)??(x)?ex。解此一阶线性非齐次微分方程，
111得通解：?(x)?ex?Ce?x。又?(0)?，得?(x)?ex。
222(1,1)1(1,1)xex（2）?[e??(x)]ydx??(x)dy??eydx?exdy?
(0,0)2(0,0)2六、（9分）设f(t)为连续函数且f(0)?0，满足f(t)????[z3?f(x2?y2)]dxdydz，
?其中?由0?z?1,x2?y2?t2(t?0)确定。
（1）将此三重积分化为柱面坐标系下的三次积分。 （2）利用（1）的结果求limt?0?f(t)。 t22?t1000解：（1）f(t)????[z3?f(x2?y2)]dxdydz ??d??rdr?(z3?f(r))dz
?2?t1t1（2）由（1）f(t)??d??rdr?(z3?f(r))dz?2??r(?f(r))dr
00004t112??r(?f(r))dr2?t(?f(t))f(t)??044于是lim2?lim。 ?lim??f(0)?2t?0?tt?0?t?0?t2t44?(?1)n1?x七、（9分）将函数f(x)?arctan展开为x的幂级数，并求级数?的和。
1?xn?12n?1?1?x1n?12n)????(?1)x，于是 解：（1）f?(x)?(arctan?21?x1?xn?0
04-05高等数学II解答
