点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些. 例9．已知圆M的方程为
，点Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M
于A、B，试求弦AB的中点P的轨迹方程.
分析：本题出现“切点弦”.鉴于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程.
解： 由已知得M（0，2），圆M方程为
设Q（t,0），则由①得切点弦AB所在直线方程为
①
②
又设P（x,y），则由 将③代入②
得
得 ③
④
讨论：当t=0时有x=0，代入②得上的点.
满足④式，故点 也是所求轨迹
综上可知，所求弦AB的中点P的轨迹方程为： .
说明：这里的切点弦AB所在直线的方程②是需要推导或证明的.本题略去的推导或证明过程，请大家练习. 例10．已知直线 （1）当
与⊙
时，求⊙C的方程； （2）当
相交于A、B两点
时，求⊙C的方程（O为原
点）
解： （1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解” 注意到⊙C的方程为
∴弦心距
由 得
∴所求⊙C方程为： 或
、
，
（2）对交点A、B坐标“既设又解” 设
将直线方程与⊙C方程联立得 ：
消去x得 由题意知：
∴
①
为方程①的两个不等实根
②
∴由韦达定理得：
∴ 又由
∴
③
④
⑤
∴ 由③、④、⑤得：
解得：a=3（满足②式） ∴ 所求⊙C方程为
点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解. 例10的改作： （1）已知⊙C：交于A、B两点，且
（O为原点），求m的值.
与直线
相
（2）已知⊙C的圆心坐标为点，且
，⊙C与已知直线 相交于A、B两
（O为坐标原点），求⊙C方程
相交于A、B两点且
（3）已知过点（3，0）的直线l与⊙C：
（O为坐标原点），求直线l的方程.
五、高考真题 （一）选择题
1.“ ”是“直线 与直线 相
互垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 2.设直线
的倾斜角为
，且
，则a,b满足（ ）
A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 3.设直线的方程是
，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数
作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（ ）
A. 20 B. 19 C. 18 D. 16 4.将直线
沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆
相切，则实数 的值为（ ）
A. –3或7 B. –2或8 C. 0或10 D. 1或11 5.已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆的取值范围是（ ）
有两个交点时，其斜率k
A.
6.从原点向圆（ ）
B. C. D.
作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为
A. B. C. D.
7.已知点P（x,y）在不等式组 表示的平面区域上运动，则
取值范围是（ ）
A. [-2，-1] B. [-2，1] C. [-1，2] D. [1，2] 8.已知圆C与圆 A.
C.
（二）填空题
关于直线
B. D.
的
对称，则圆C的方程为（ ）
1.直线 2.设直线
关于直线x=1对称的直线方程是 .
和圆
相交于点A、B，则弦AB的垂直平
分线方程为 .
3.若经过点P（-1，0）的直线与圆的截距是 . 4.若 5.已知直线
，则x－y的最大值是 .
与圆
相交于A、B两点，且
，则
相切，则此直线在y轴上
.
6.由动点P向圆
引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
，则动
点P的轨迹方程为 .
7.非负实数x,y满足 ，则 的最大值为 .
8.设x,y满足约束条件 是 .
，则使目标函数 的值最大的点（x,y）
9.设实数x,y满足 （三）解答题 1.如图，直线
，则 的最大值为 .
与直线 之间的阴影区域（不含
边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2. （1）分别用不等式组表示W1和W2；
（2）若区域W中的动点P（x,y）到的方程；
（3）设不过原点O的直线l与（2）中曲线C相交于分别交于
两点，求证：
的重心与
两点，且与 的重心重合.
的距离之积为
，求点P的轨迹C
2.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段DC上.
（1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； （2）求折叠的长的最大值.
3.如图，直线与x轴交于点
，过点
作x轴的垂线交
与 于点
于
，过点
相交于点P，直线 作y轴的垂
线交直线 于点 ，过点 作x轴的垂线交 ，……这样一直作下
.
去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，……，点的横坐标构成数列
（1）证明： （2）求系数 分析与解答
（一）选择题
；
的通项公式； （3）比较
与
+5的大小.
1.选B. 分析：当直，条件具充分性； 当两直线互相垂直时，由
时，两直线为 和 ，显然垂
得：
2.选D. 分析：由得 ∴
，
，即a=b，故应选D.
或
为倾斜为得
，条件不具必要性. 故应选B.
又由
3.选C. 分析：注意到A、B的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为中A、B的值有
种解法，但其中有“A=1，B=2”与“A=2，B=4”表示同一直线，“A=2，
，应选C.
B=1”与“A=4，B=2”表示同一条直线，所以不同直线的条数为 4.选A. 分析：把直线
.
即
向左平移1个单位得直线
解法一：若注意到圆与y轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y轴的相交弦为x=0
高中数学教案直线与圆
