（Ⅱ）当点 在圆外时，过点M分别向圆作切线MA、MB
.
（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为 引申：当点
在圆
外时，过点M分别向圆作切线
MA、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为
.
四、经典例题
例1．求经过点A（5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 分析：由题意知直线l与两坐标轴都相交，因为不存在直线l垂直于x轴的情形.但是，注意到直线l的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论. 解：由题意知直线l与两坐标轴都相交.
（1） 当直线l在两轴上的截距均不为零时，设直线l的方程为： ∵
∴
，即 a=3. ∴ 此时直线l的方程为：
.
（2）当直线l在两轴上的截距为零，即直线l过原点时，直线l的方程为： ∴ 综合（1），（2）得所求直线l的方程为
或
.
点评：运用直线的某一种特殊形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件.因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜.在这里，直线的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线.因此，要对这些特殊直线单独考察. 例2．直线l被两平行直线在直线
上，且l到l2的角为45°，求直线l的方程.
所截线段AB的中点M
分析：由已知条件易得直线l的斜率.欲求点M坐标，先考察点M的位置特征，注意到
，点M为线段AB的中点，故点M在与 、免复杂运算，可先求 的方程.
解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M在与l1 ，l2等距的直线l3上，注意到l1 ，l2的纵截距分别为
①
，故l3的纵截距为l， ∴由斜截式得l3的方程为
等距离的另一直线 上.因此，为避
将①与 联立解得② 设直线l的斜率为k，则又由已知得
，
解得
③ 于是由②③得所求直线l的方程为
点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算.请在下面的例题中注意上述技巧的刻意运用. 例3．已知点A（1，-1）和直线
，求直线l2的方程.
分析：欲求
的斜率k，如直面求直线 、
联立的方程组，再利用两点间的距离
的三角函数值.为此，利用已
，过点A作直线l2 与l1交于点B，使
公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求 与知条件率先构造含有
的Rt△.
的夹角
解（对交点坐标不设不解）：过点A作
又 为直线l1 与l2的夹角 ∴由
（1）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的斜率为k，
则由两直线的夹角公式得
此时，直线l的方程为
（2）当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为 符合已知条件.
综合（1）（2）得所求直线l2的方程为 点评：借助平面图形的特征,人为地构造与求解
，此时易得B（1，4），
.
,进而转化为运用夹角公式求解目
标直线的斜率,刻意避免了求解直线l1 与l2的交点坐标.这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一. 例4．在
中，A（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为
，求BC边所在直线方程.
的平分线所在直线方程为 分析：如何利用
的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，
所用l1 与l2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化.我们这里选择第二条途径. 解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B（4t-10,t）
则AB边中点 ，∴点D在直线 上，
∴
∴点B（10，5）①
又注意到AB与BC边所在直线关于 故点A（3，-1）关于直线
的平分线所在直线 对称，
对称点A′（m,n）一定在直线BC上
∴由点A、A′关于直线
∴A′（1，7） ②
对称得
于是由①②得直线A′B即直线BC的方程为
点评：本题解题特色，一是利用已知直线方程巧设点B和点D坐标；二是利用平分线性质转化为点的对称问题.此为解决这类直线问题的基本策略. 例5．已知过点A（1，1）且斜率为两点，过P、Q分别作直线
的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q
的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ的面积的最
小值.
分析：这里的四边形PRSQ为直角梯形且PR//SQ，故梯形的高RS为平行线QS与PR间的距离，从设直线l的方程切入. 解：设直线l的方程为∴Q（0,m+1）
① 在①中令
在①中令离分别记为
,
∴ 将P、Q两点到直线 的距
则 ②
又直线QS方程为 ，
直线PR方程为 ，
∴直线PR与QS间的距离
即 ③
∴由②③得：
成立）
（当且仅当 时等号
于是可知，四边形PRSQ的面积的最小值为 （当且仅当 时取得）
点评：从设直线l的方程切入，点P、Q坐标以及点P、Q到l的距离依次登场，循序渐
进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS，四边形面积的表达式便呼之欲出了.解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界. 例6．设圆上的点A（2，3）关于直线
相交的弦长为
分析：圆上的点A关于直线
，求圆的方程.
的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？
的对称点仍在圆上知，圆心
的对称点仍在此圆上，且该圆与直线
解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A关于直线在直线
上
∴可设圆的圆心坐标为（2t，-t），圆的方程为①
则由题设条件得：② ③
∴由②③解得
∴所求圆方程为
的对称点
直线
在此圆上
点评：要善于认知题设的真面目：点A关于直线
弦
的垂直平分线为
过圆心
例7．一个圆与直线 相切于点P（4，-1），且圆心在直线
上，求圆的方程。
分析：求圆的方程，当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程.
解（巧设圆心坐标）：∵圆心在直线
上 ∴设圆心C的坐标为（3t,5t）
又 ，∴ 由此得 解之得 .
∴圆心C（3，5），半径 . ∴ 所求圆的方程为
点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质.上述解答便是利用了圆
的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径. 例8．已知圆C与圆
相交，所得公共弦平行于已知直线
，又圆C经过点A（-2，3），B（1，4），求圆C的方程。
分析：题设条件中出现两圆的公共弦.对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同，随之的解法也会不同.
解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C方程为则圆C与已知圆的公共弦所在直线方程为
，
∴由题设得： ① ②
，
③
又点A、B在圆C上，故有： ∴所求圆C的方程为 ：
解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C的弦AB的中点坐标为 ∴圆C的弦AB的垂直平分线方程为
④ 又已知圆圆心为
∴两圆连心线所在直线的方程为 ⑤
设圆心C（a,b），则由④、⑤得 再注意到圆C的半径
解之得
∴所求圆C的方程为
高中数学教案直线与圆
