直线与圆
一、知识网络
二、高考考点
1.直线的倾斜与斜率； 2.直线的方程及其应用； 3.两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式；
4.简单的线性规划问题；5.圆的方程及其应用； 6.直线与圆的相切与相交问题； 7.两圆的位置关系；
8.直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题. 三、知识要点 （一）直线
1、直线的倾斜角定义与规定
（1）定义：对于一条与x轴相交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作 .
（2）规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.
综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角 的取值范围是[0°，180°）或[0，π）.
提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确. （3）直线的斜率与方向向量 （Ⅰ） 定义1：当直线l的倾斜角直线的斜率通常用k表示即：
不是90°时，
的正切叫做直线l的斜率，
特例：当直
线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在.
认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：
；
；
；
（直线的斜率不存在）
，则直线l的斜
（Ⅱ）斜率公式 已知直线l上两点
率： .
与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.
的坐标是
；
（Ⅲ） 定义2：直线l上的向量 设
，则直线l的方向向量
当直线l不与x轴垂直时， ，此时，直线l的方向向量可化为 （这
里k为直线l的斜率）. 2、直线的方程
（1） 理论基础：直线的方程与方程的直线之定义 在直角坐标系中，如果直线l和二元方程 ①直线l上的点的坐标都是方程 ②以方程
的实数解之间建立了如下关系：
的解（纯粹性）
的解为坐标的点都在直线l上（完备性）
那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线. （2）直线方程的几种形式
（Ⅰ）点斜式： 已知直线l的斜率为k，且过点
（Ⅱ）斜截式
已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则直线l的方程为：
，则直线l的方程为：
注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例.直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x轴垂直的直线的方程.因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。 （Ⅲ）两点式 已知直线l经过两点
，则直线l的方程为：
.
（Ⅳ）截距式
已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为 ，则直线l的方程为：
注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线.运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线. （Ⅴ）一般式 方程
叫做直线方程的一般式
直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x,y的一次方程，反之，任何关于x,y的一次方程都表示一条直线.这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一. 3、两条直线的位置关系
（1）两条直线平行的条件 设l1、l2 为两条不重合的直线，则 （Ⅰ）
的斜率相等或它们的斜率都不存在.
因此，已知l1//l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论. （Ⅱ）若设直线
则
（Ⅲ）平行于直线
（2）两条直线垂直的条件 对于两条直线l1和l2 （Ⅰ）在
（Ⅱ）若设直线l1：
则
（Ⅲ）垂直于直线
,
,
，
（此式包含了一般与特殊两种情形）
的直线（系）方程为：
的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存
，（此式包含了一般与特殊两种情况）
的直线（系）方程为：
（3）直线l1 到l2的角；直线l1 与l2的夹角 设l1 与l2相交
（Ⅰ）直线l1 到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作
①l1 到l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1 //l2时不定义l1 到l2的角，故 的取值范围为（0，
）
；
②设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 到l2的角为 ，则 当
当 （注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）
（Ⅱ）直线l1 与l2的夹角，是指l1 与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为 .
①l1 与l2的夹角没有方向性，注意到当l1 //l2时不定义l1 与l2夹角的概念，故得取值范围为：
； 的
②设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 与l2的夹角为 ，则 当
当
（4）点到直线的距离设点
. ，直线
则点P到直线l距离：
讨论（两平行直线间的距离）： 设两条平行直线
， 则l1 与l2之间
的距离为 .
（5）两条直线的交点 （1）直线
（2）经过直线l1 与l2的交点的直线（系）方程为
（这里不含l2）
(二)圆的方程
1、定义与方程 （1）定义 （2）方程 （Ⅰ）标准方程：
圆心为（a、b），半径为
（Ⅱ）一般方程： 圆心为 ，半
径为
（III）参数方程： 圆心为(a，b)，r为半径长
2、性质与应用 （1）圆的基本性质 （Ⅰ）关于弦的性质
圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）； 两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线；
若设圆半径为r，弦心距d ，弦长为2l，则有
（Ⅱ）关于切线的性质 切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径.
（2）圆的性质的应用
解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快.关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：
（Ⅰ）巧设圆心坐标
若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.
（Ⅱ）巧设圆的方程
一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果. 3、直线与圆 设直线
，圆
，
则直线与圆的位置关系有两种判别方法：
（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）： 设圆心C到直线l的距离为d，则
直线l与圆C相交；
直线l与圆C相切；
直线
l与圆C相离.
（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：
将上述曲线方程与圆方程联立，消去x(或y)所得一元二次方程的判别式为
直线与圆C相交；
直线与圆C相切；
，则 直线与圆
C相离.
4、挖掘与引申
（1）两圆的公共弦所在直线的方程 设⊙
与⊙
①
②
相交于A、B两点，则由①-②得两圆公共弦AB所在直线的方程为：
（2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程 对于圆 （Ⅰ）当点
在圆上时，以M为切点的切线方程为
；
高中数学教案直线与圆
