一、判断题
1．有界数列必有极限． 2．单调数列必有极限． 3．无穷大量必是无界数列． 4．无界数列必是无穷大量．（ ）
5．若数列?an?与数列?bn?的极限均不存在，则它们的和与积的极限必不存在．（ ） 6．若数列?an?bn?的极限存在，则数列?an?与?bn?的极限必存在． （ ）
（ ） （ ） （ ）
?bn?是任意数列,7．若?an?是无穷小量,则liman?bn?0n??() )
)
8．若liman?a,lim?an?bn??0,则limbn?a.n??n??n??((9．若limf?x??b,则limfx2?1?b.x?1x?0??10．两个无穷大量之和的极限仍是无穷大．（ ）
11．无穷大量与无穷小量的和、差仍是无穷大量． （ ） 12．无穷多个无穷小量之和仍是无穷小量． （ ） 13．无穷小量是一个很小很小的数． （ ） 14．无穷大量是一个很大很大的数． （ ）
15．当n越大时,an?A越小,则数列?an?必以A为极限.()
)
16．当n越大时,|an?A|越接近于零，则数列?an?必以A为极限.(17．???0(“?”表示“对于任意给定的”)存在N=N(ε)>0，当n>N时，使得uN以后的无穷多项都落在开区间(A-ε，A+ε)内，则limun?A.． （ ）
n???1?18．数列??的极限为0.(?n?x?x0)
19．若f?x??0,且limf?x??A,则必有A?0.(20．若limf?x??A,且A?0,则必有f?x??0.(x?x0) )
21．某变量在变化过程中，就其绝对值而言，越变越小，则该变量必是无穷小量． （ ） 22．某变量在变化过程中，会变得比任何数都要小，则该变量必是无穷小量． （ ） 23．两个非无穷小量之和，一定不是无穷小量． （ ） 24．两个非无穷小量之积，一定不是无穷小量． （ ）
25．在某变化过程中，若f1?x?与f2?x?极限，则在该过程中，f1?x??f2?x?必无极限．（ ） 26．在某变化过程中，若f1?x?有极限，f2?x?无极限，则在该过程中，f1?x??f2?x?必无极限． （ ）
27．若limf?x?不存在,则lim?f?x??也不存在.(2x?x0x?x0x?x0)
)
28．若limf?x?,limf?x?均存在,则limf?x?必存在.(??x?x0x?x029．若f?x?在x0处有定义且有极限,则f?x?在x0连续.()
30．若f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在该区间内必取得最大值和最小值． （ ） 31．在闭区间上连续的函数，在该区间上定能取到最大值或最小值． （ ） 32．设函数f(x)在[a，b]—上连续，f(x)>0，则值． （ ）
二、填空题
1在[a,b]上存在最大值和最小f?x?1．若limun?A,则lim|un|?___________.
n??n??10n?110n?1?42．lim?1,最小值的N取_______.当n?N时,恒有?1?10. nn??10n103．limn?1n?1?1,当n从______开始,恒有?1?10?4.
n??n?1n?112?22?33???n24．lim?____________. 32n??3n?2n?n?4 5．在同一过程中,若liman?A且liman?B,则A与B___________.n??n??6．limnn???n?1?n?_________.
?an?bn7．设a?b?0,则limn?1?___________.
n??a?bn?1
8．设y?9．lim1,当x?______时,y是无穷小量;当x?_______时,y是无穷大量.x?1?__________.x ?exx?010．设f?x???,则limf?x??____;limf?x??____;当b?____时,limf?x??1.??x?0ax?bx?0x?0x?0?n??x?sin?11．lim?x?0x??x?x?______.?x?0??x?x2?2x?3?12．设f?x???x?2x?2?x?2x?4x?1,1?x?2,则limf?x??_______; limf?x??______;x?2.x?0x?1limf?x??_______;limf?x??_______.
??0?,需取δ?_____.13．lim?5x?2??12,要使|?5x?2??12|?εεx?2 6x?56x?5??0?,需取|x|?______.14．对于lim?6,要使?6?εεx??xx15．对于limx2?4,当δ?____时,才能由|x?2|?δ,而使|x2?4|?10?3.x?2
216．对于limx?x?1?ax?b?0,则a?________;b?___________.x?????17．函数f?x?在x0处连续的充分必要条件是_______.
参考答案
18．函数f?x?在x0连续与存在极限的主要不同点是____________.
一、判断题
1．否．比如数列??1?是有界的因为|??1?|?1，但它无极限．
nn????2．否．比如数列{n}是单调的，但无极限．
3．是．由无穷大量的定义知，对于任意正数M，总存在正整数N，使当n>N时，恒有|un|?M成立，而|un|?M恰好说明?un?无界．
4．否．比如数列1，0，2，0，3，0，…，n，0，…是无界数列，但它不是无穷大量．
1???1?1???1?,bn?5．否．比如数列an?的和为1、积为0，显然都收敛．
22nn1??6．否．比如数列?n??的极限为1，但数列?n?的极限不存在．
?n?1?1??1?1?7．否．如数列?n?limn??1. ?，??是无穷小量，{n}是任意数列．n??n?1n?1n?1????8．是．根据数列极限四则运算可得．
9．是．因为limx2?1?1,又因limf?x??b,所以limfx2?1?b.
x?0x?1x?0????10．否．如{n}与{-n}之和的极限为零．正确的命题应是：两个同号无穷大量之和的极限为无穷大．
11．是．由于无穷小量是有界数列，据运算法则知有界数列与无穷大量的和、差仍为无穷大，所以原命题正确．
?1??2??3??n?12．否．如?2?,?2?,?3?,?,?2?都是无穷小量，其和的极限为
?n??n??n??n?1n?n?1?2n?1?12lim?2?2???2??lim?.正确的命题是：有限个无穷小量之和仍为无穷小量． 2n??nn??2nn?n?13．否．首先要肯定无穷小量不是一个数（除零以外），在n→∞的过程中，它的绝对值能小于给定的任意正数ε（不论ε多么小），无穷小量能深刻说明自身与零的无限接近程度．
14．否．思路同上．
15．否．如an??n,A=1，当n越大时，an?A???n?1?越小，但an并不以1为极限，因为??n?无极限．
16．否．“越来越接近零”并不意味着“无限趋于零”． 17．否．“无穷多项”，并不意味着“所有项”． 18．是．
?x219．否．如f?x????1x?x0x?0,对任何x，都有f(x)>0，但limf?x??0.正确的命题是：若
x?0x?0f(x)>0，且limf?x??A，则必有A≥0．
?sinxx?0,?20．否．如f?x???x虽然limf?x??1?0，但f(0)=-1<0．正确的是命是：若
x?0???1x?0.x?x0，恒有f(x)>0. limf?x??A,且A>0，则在x0的某一邻域内（点x0除外）
21.否．如f?x??x2?1，在x→0时，|f(x)|越变越小，但limf?x??1，不是无穷小量．
x?022．否．如f(x)???x2?1?,当x→∞时，会变得比任何数都要小，但在此过程下，f(x)不是无穷小量．
23．否．如f1?x??sinx与f2?x??x?1，当x→0时均非无穷小量，但x?sinx?lim?f1?x??f2?x???lim???x?1???0. x?0x?0?x??x24．否．如f1?x????1x有理数，?1与f2?x???x为无理数?xx为有理数,x为无理数.当x→0时，它们显然
都不是无穷小量，但f1?x??f2?x??x，当x→0时是无穷小量．
1125．否．如f1?x??x?sin,f2?x??2?sin,当x→0时，两函数均无极限，但
xxf1?x??f2?x??x?2,当x→0时，极限存在．
26．是．可用反证法证明，若f1?x??f2?x?有极限，那么根据极限四则运算法则知，
?f1?x??f2?x???f1?x??f2?x?必有极限，这与题设矛盾．
27．否．
28．否．尚需左、右极限相等． 29．否．尚需极限值等于函数值．
30．否．如f?x??x2在（0，1）内连续，但在（0，1）内既无最大值也无最小值，正确的命题是将（a，b）改为闭区间[a，b]．
31．否．将“或”改为“和”，即既取得最大，也取得最小，俗称“一取就是一对”． 32．是．
北大附中高考数学专题复习极限判断题训练和填空题训练
