x解：判断函数f(x)的零点个数可转化为判断方程f(x)＝2|log0.5x|－1＝0的根的个数，
?1??1?由此得到|log0.5x|＝??，设y1＝|log0.5x|，y2＝??，则两个函数y1与y2的交点个数即为
?2??2?
所求，如图所示，可知交点有两个．故选B.
1x4．已知x0是函数f(x)＝2＋的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
1－xA．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
11x解：由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2在(1，＋∞)
1－xx－1上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上，f(x1)
xxxx??5．(2014·黄冈九月质检)函数f(x)＝?1＋x－＋?cos2x在区间[－3，3]上零点的个
23??
数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
23
解：令g(x)＝1＋x－＋，
23
则g′(x)＝1－x＋x＞0，故g(x)在R上单调递增，而g(－3)g(3)＜0，故g(x)在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y＝cos2x在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C.
6．(2015·浙江模拟)函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．8
B．6
C．4
D．2
解：作出两函数的大致图象如图所示．
2
x2
x3
两函数图象都关于直线x＝1对称，且共有6个交点， 故所有交点的横坐标之和为6.故选B.
7．设f(x)＝2－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝ .
解：∵x0是函数f(x)的一个正数零点，即f(x0)＝2x0－x0－4＝0，知f(2)＝2－2－4＜0，f(3)＝2－3－4＞0，∴x0∈(2，3)，再由y＝2与y＝x＋4在(0，＋∞)上只有一个交点
3
2
xx
知a值惟一．又∵a∈N，∴a＝2.故填2.
??|x|，
8．(2014·安庆六校联考)已知函数f(x)＝?2
?－x－2x＋1，x≤0，?
x＞0，
若
函数g(x)＝f(x)＋2m有三个零点，则实数m的取值范围是________．
??|x|，x＞0，
解：作出函数f(x)＝?2 的图象如图所示，令g(x)＝f(x)＋2m＝0，
?－x－2x＋1，x≤0?
1
则f(x)＝－2m，由图象知，当1≤－2m＜2，即－1＜m≤－时，
2
1??直线y＝－2m与y＝f(x)的图象有三个交点．故填?－1，－?. 2??
??x＋1，x≤0，
9．已知函数f(x)＝?求函数y＝f(f(x))＋1的所有零点构成的集合．
?log2x，x>0，?
?t≤0，?t>0，??
解：先解方程f(t)＝－1，即?或?
???t＋1＝－1?log2t＝－1.
11
得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝.
22
x≤0，?x>0，?????x≤0，x>0，??
??即或和?1或?1 ?log2x＝.?x＋1＝－2??log2x＝－2?x＋1＝
2?2??
11
得x＝－3或x＝和x＝－或x＝2.
42
??11
故所求为?－3，－，，2?.
24??10．若函数f(x)＝2ax－x－1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围． 解：f(x)在(0，1)上恰有一个零点，显然a≠0. ∴有两种情形：
①f(0)f(1)＜0，得(－1)·(2a－2)＜0?a＞1；
②Δ＝0且方程f(x)＝0的根在(0，1)内，
112
令Δ＝0?1＋8a＝0?a＝－，得f(x)＝－(x＋4x＋4)，
84此时f(x)＝0的根x0＝－2?(0，1)．
综上知a＞1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． (1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；
(2)若对任意x1，x2∈R，且x1 [f(x1)＋f(x2)]成立． 2 解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，b＝a＋c. ∵Δ＝b－4ac＝(a＋c)－4ac＝(a－c)， 当a＝c时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点； 2 2 2 2 2 当a≠c时，Δ>0，函数f(x)有两个零点． 1 (2)证明：令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则 2 1f（x1）－f（x2） g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝， 221f（x2）－f（x1） g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝， 22 12 ∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]. 4 ∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)<0，即g(x)＝0在(x1，x2)内必有一个实根．即存在x0 1 ∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立． 2 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时， ?13?f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos（πx）|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在?－，?上的零点个?22?数为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 13 解：原问题可转化为函数f(x)与g(x)的图象在[－，]上的交点个数问题．由题意知函 22311 数f(x)为偶函数，且周期为2.当x＝，，0，－时，g(x)＝0，当x＝1时，g(x)＝1，且 222 g(x)是偶函数，g(x)≥0，由此可画出函数y＝g(x)和函数y＝f(x)的大致图象如图所示，由 ?13?图可知在?－，?上两函数图象有6个交点，故选B. ?22?
核按钮（新课标）高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数()及函数的应用 2.6 函数与
