§2.6 函数与方程
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．
(2)函数有零点的几个等价关系： 方程f(x)＝0有实数根
?函数y＝f(x)的图象与x轴 ?函数y＝f(x) ．
由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈ ，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)
自查自纠
1．(1)f(x)＝0 实数根 交点的横坐标 (2)有交点 有零点 零点 函数y＝f(x) 2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0
(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A．y＝cosx C．y＝lnx
2
B．y＝sinx
2
D．y＝x＋1
解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x＋1是偶函数但没有零点．故选A.
函数f(x)＝2＋x－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A．0
B．1
x3
x3
C．2 D．3
解：易知函数f(x)＝2＋x－2单调递增，∵f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f(x)在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B.
(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不
相等的实根，则实数k的取值范围是( )
?1?A.?0，? ?2?
C．(1，2)
?1?B.?，1? ?2?
D．(2，＋∞)
解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象．如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率
1
时符合题意，故＜k＜1.故选B.
2
方程lnx＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
1
解：构造函数f(x)＝lnx＋2x－8，∴f′(x)＝＋2＞0(x＞0)，则f(x)在(0，＋∞)上
x单调递增，又f(1)＝－6＜0，f(2)＝ln2－4＜0，f(3)＝ln3－2＜0，f(4)＝ln4＞0，∴f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k＝3.故填3.
(2014·苏锡模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(x)＋f(k－x)
只有一个零点，则实数k的值是________．
解：由f(x)＋f(k－x)＝0得f(x)＝－f(k－x)，因为f(x)是奇函数，有－f(k－x)＝
2
2
2
f(x－k)，故有f(x2)＝f(x－k)，又f(x)是R上的单调函数，所以方程x2＝x－k即x2－x＋k11
＝0有唯一解，由Δ＝0解得k＝，故填. 44
类型一 判断函数零点所在的区间
6
(2014·北京)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间
x是( )
A．(0，1) C．(2，4)
B．(1，2) D．(4，＋∞)
31
解：f(x)在(0，＋∞)为减函数，又f(1)＝6＞0，f(2)＝2＞0，f(4)＝－2＝－＜0.
22故选C.
【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f(a)·f(b)<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．
2
(2013·北京朝阳检测)函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
xA．(1，2) B．(2，3)
C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)
122
解：∵f′(x)＝＋2＞0(x＞0)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－＞0，
xx3
f(2)＝ln2－1＜0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.
类型二 零点个数的判断
??0， 0＜x≤1，
(2015·江苏)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝?2 则
?|x－4|－2，x＞1，?
方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
解：由题意知，方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数即为函数y＝f(x)与y＝1－g(x)交点个数及函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)交点个数之和，而y＝1－g(x)＝
?1， 0＜x≤1，
?2
作图易知函数y＝f(x)与y＝1－g(x)有两个交点，又y＝－1－g(x)?7－x，x≥2，
??x2－1，1＜x＜2，
－1， 0＜x＜1，??2
＝?5－x，x≥2， 作图易知函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)有两个交点，因此共??x2－3，1＜x＜2，
有4个交点．故填4.
【点拨】(1)连续函数在区间[a，b]上满足f(a)·f(b)＜0时，函数在(a，b)内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a，b)内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f(x)＝g(x)的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．
??x－2， x≤0，
2014·福建 ()函数f(x)＝?的零点个数是________．
?2x－6＋lnx，x>0?
2
解：当x≤0时，f(x)＝x－2，
令x－2＝0，得x＝2(舍)或x＝－2， 即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点． 当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，
解法一：令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.
作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．
1
解法二：f′(x)＝2＋，由x＞0知f′(x)＞0，
2
2
x∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
而f(1)＝－4＜0，f(e)＝2e－5＞0，
f(1)f(e)＜0，从而f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
综上可知，函数f(x)的零点个数是2.故填2.
类型三 已知零点情况求参数范围
(2014·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)1??2
＝?x－2x＋?，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a2??
的取值范围是________．
解：函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3，4]与y＝a的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f(x)在一个周期[0，3)
1?1?上的图象如图，可知当0＜a＜时满足题意．故填?0，?. 2?2?
【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．
??x＋2，
(2015·河南模拟)已知函数f(x)＝?2
?x＋5x＋2，x≤a，?
x>a，
函数g(x)
＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1)
B．[0，2]
C．[－2，2) D．[－1，2)
??x＋2， x＞a，
解：∵f(x)＝?2
?x＋5x＋2，x≤a，?
??－x＋2， x＞a，
∴g(x)＝f(x)－2x＝?2
?x＋3x＋2，x≤a.?
方程－x＋2＝0的解为x＝2，方程x＋3x＋2＝0的解为x＝－1或－2.
?a＜2，
2
?
若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则?－1≤a， 解得－1≤a＜2，即实数a??－2≤a，
的取值范围是[－1，2)．
故选D.
1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．
2．判断函数在给定区间零点的步骤 (1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续； (2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号； (3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．
除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断． 3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
1
1?x?1．函数y＝x2－??的零点个数为( ) ?2?A．0
B．1
C．2
D．3
?1?解：在同一坐标系内分别做出y1＝x，y2＝??的图象，根据图象可以看出交点的个数?2?
为1.故选B.
2．(2015·青岛模拟)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
1
A．a>
5
1
C．－1 5 1 B．a>或a<－1 5D．a<－1 x 解：由题可知函数f(x)的图象是一条直线，所以f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点 1 等价于f(－1)f(1)＜0，即(1－5a)(a＋1)＜0.解得a＞或a＜－1.故选B. 5 3．(2013·天津)函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 x
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