2024高中自主招生必做试卷（数学）
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（每题4分，共40分）
1、在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33中，最大的是 ( ) A、－|－3|3 B、－(－3)3 C、(－3)3 D、－33 装 订 线 外 请 不 要 答 题 学校 姓名 考号 2、已知
11a?2ab?b的值等于 （ ） ??4，则
ab2a?2b?7ab22A、 B、? C、?6 D、6
1573、如图，在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形，则a,b,c满足的关系式是 （ ） A、b?a?c B、b?ac C、b?a?c D、b?2a?2c
4、a、b是有理数，如果a?b?a?b,那么对于结论：(1)a一定不是负数；(2)b可能是负数，其中 ( ) A、只有(1)正确 B、只有(2)正确
C、(1)，(2)都正确 D、(1)，(2)都不正确
?3x?a?0?5、已知关于x的不等式组?的整数解有且仅有4个：-1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所 bx??2?222有可能的整数对(a,b)的个数有 ( )
A、1 B、2 C、4 D、6
6、如图，表示阴影区域的不等式组为 ( ) 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， A、 3x + 4y≥9， B、 3x + 4y≥9， C、 3x + 4y≥9， D、 3x + 4y ≤9， y≥0 x≥0 x≥0 y≥0
第3题图
第6题图
DGAE第7题图
CFBS四边形DGCAS矩形DCBA第9题图 等于 ( )
7、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
A、
3425 B、 C、 D、 45368、若2x4?3x3?ab的值是 （ ） x2?7x?b能被x2?x?2整除则a：
A、-2 B、-12 C、6 D、4
9、在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝6，DF＝4，AE、FC相交于点G，GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则GH的长为 （ ） A、16 B、20 C、24 D、28
10、若a与b为相异实数，且满足：
aa?10ba ??2，则＝ （ ）
bb?10ab A、0.6 B、0.7 C、0.8 D、0.9
二、填空题（每题5分，共20分）
11、已知?,?是方程x2?2x?1?0的两根，则?3?5??10的值为
12、在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2?y2?2x?2y的整数点坐标（x,y）的个数为 13、今年参加考试的人数比去年增加了30%，其中男生增加了20%，女生增加了50%。设今年参加考试的
总人数为a，其中女生人数为b，则
b? a14、在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝ ．
三、解答题（共90分）
15、（12分）因式分解：4x2?4x?y2?4y?3
16、（14分）如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，
点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．
y BC AOx
17、（15分）如图所示，有一张长为3、宽为1的长方形纸片，现要在这张纸片上画两个小长方形，使小
长方形的每条边都与大长方形的一边平行，并且每个小长方形的长与宽之比也都为3:1，然后把它们剪下，这时，所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值．求这个最大值． 18、（15分）如图，在以O为圆心的圆中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，弦BE与半径OC相交于点
F，且OF=FC，弦DE与弦AC相交于点G.
（1）求证：AG=GC； （2）若AG=3，AH：AB=1：3，求△CDG的面积与△BOF的面积.
19、（16分）已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直?请说明理由． （2）若∠BAC = 30°，∠CAD = 45°，AC = 4，求MN的长 . 20、（18分）已知实数a,b,c满足：a?b?c?2,abc?4。 （1）求a,b,c中最大者的最小值；
（2）求a?b?c的最小值。
题 答 要 不 请 外 线 订 装参考答案
一、选择题（每题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A A D B C A
二、填空题（每题5分，共20分）
11、?2 12、9 13、513 14、10
三、解答题（本题6小题，共90分）
15、4x2?4x?y2?4y?3?(4x2?4x?1)?(y2?4y?4) = （2x-1）2-(y-2)2
= (2x+y-3)(2x-y+1) 16、解：（1）令x=0，则y=4，∴点C的坐标为（0，4）， ∵BC∥x轴，∴点B，C关于对称轴对称， 又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线x???5a2a?52，即直线x?52 ∴点B的坐标为（5，4）， ∴AC=BC=5，在Rt△ACO中，OA=AC2?OC2?3， ∴点A的坐标为A（?3，0）， ∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A， ∴9a+15a+4=0，解得a??16， ∴抛物线的解析式是y??16x2?56x?4 （2）存在， 理由：∵B，C关于对称轴对称， ∴MB=MC，∴MA?MB?MA?MC?AC； ∴当点M在直线AC上时，MA?MB值最大， 设直线AC的解析式为y?kx?b，则???3k?b?0??k?4?b?4，解得??3， ?b?4∴y?43x?4 令x?52，则y?225223，∴M（2，3）
9 10 B C …………6分
…………12分
…………1分 …………6分 …………7分 …………9分 ……………13分 ……………14分
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