2004年全国高中数学联合竞赛试题
第 一 试 时间：10月16日
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、设锐角?使关于x的方程x?4xcos??cot??0有重根，则?的弧度数为（ ） A.
2? 6 B.
2?122or5? 12C.
?6or5? 12 D.
? 122、已知M?{(x,y)|x?2y?3},N?{(x,y)|y?mx?b}。若对所有
m?R,均有MA. ??N??，则b的取值范围是（ ）
B. ????66?,? 22????66?, ??22?C. (?2323,] 33D. ???2323?,? 3??33、不等式log2x?1?A. [2,3)
1log1x3?2?0的解集为（ ） 22
C. [2,4)
D. (2,4]
B. (2,3]
4、设O点在?ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则?ABC的面积与?AOC的面积的比为（ ） A. 2
B.
3 2 C. 3 D.
5 35、设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个
6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB?OB，垂足为B，OH?PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ） A.
5 3 B.
25 3 C.
6 3 D.
26 3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)?asinax?cosax(a?0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)?a2?1的图像所围成的封闭图形的面积是________________。 8、设函数f:R?R,满足f(0)?1，且对任意x,y?R,都有
f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2，则f(x)=_____________________。
9、如图、正方体ABCD?A1B1C1D1中， 二面角A?BD1?A1的度数是____________。
A2D1C1A1FEDB1CB10、设p是给定的奇质数，正整数k使得k?pk也是一个正整数，则k=____________。 11、已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，则
1的值?ai?oin是_________________________。
12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当?MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2，则算过关。问：
（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？
（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）
14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0,),B(?1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。 （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L经过?ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。
15、已知?,?是方程4x?4tx?1?0(t?R)的两个不等实根，函数f(x)?域为??,??。
（Ⅰ）求g(t)?maxf(x)?minf(x)； （Ⅱ）证明：对于ui?(0,2n432x?t的定义x2?1?2)(i?1,2,3)，若sinu1?sinu2?sinu3?1,
则1113???6。
g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4二○○四年全国高中数学联合竞赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、解：因方程x?4xcos??cot??0有重根，故??16cos??4cot??0
220????2??
?2,?4cot?(2sin2??1)?0 得sin2??1 2?6或2??5??5?，于是??。 故选B。 或612122、解：MN??相当于点（0，b）在椭圆x2?2y2?3上或它的内部
故选A。
2b266??1,???b?。
322331??log2x?1?log2x???03、解：原不等式等价于? 222??log2x?1?0?321?t?t??0设log2x?1?t,则有?2 2??t?0即0?log2x?1?1,?2?x?4。
解得0?t?1。
故选C。
4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点， 则
AOA?OC?2OD2(OB?OC)?4OE(1)(2)
D由（1）（2）得，
OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0，
即OD与OE共线，
BEOC且|OD|?2|OE|?S?AEC3S3?2?,??ABC??3， 故选C。 S?AOC2S?AOC2解法2 如图建立坐标系xo?y，分别设A(a,0),B(0,b),C(c,0),O(x,y)， 则 OA?(a?x,?y),OB?(?x,b?y),OC?(c?x,?y)
yBb由OA?2OB?3OC?0得，y?，
3Sb??ABC??3， 故选C S?AOCyOyCo'DAx
5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即a,b,c?{1,2,...,9}
（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码都相同，所
1以，n1?C9?9。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有2C9。但当大数为底时，设a>b，必须满足b?a?2b。此时，不能构成三角形的数码是 a b 9 4，3 2，1 8 4，3 2，1 7 3，2 1 6 3，2 1 5 1，2 4 1，2 3 1 2 1 1 2共20种情况。 同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有C3种情况。
222故n2?C3(2C9?20)?6(C9?10)?156。 综上，n?n1?n2?165。
2 6、解：
AB?OB,AB?OP,?AB?PB,又OH?PB
?面PAB?面POB,?OH?HC,OH?PA。C是PA中点，?OC?PA ?当HO?HC时S?HOC最大，
也即VO?HPC?VP?HCO最大。 此时，
1HO?2,故HO=OP,??HPO?3002，
26?OB?OP?tan300?3故选D。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、解：f(x)?12?，振幅为a2?1sin(ax??),其中??arctan，它的最小正周期为
aaa2?1。由f(x)的图像与g(x)的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2?2?、宽为a2?1的长方形，故它的面积是aa 8、解：
a2?1。
对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,
?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2
?f(x)f(y)?f(y)?x?2=f(y)f(x)?f(x)?y?2
即f(x)?y?f(y)?x,令y?0,得f(x)?x?1。
9、解：连结D1C,作CE?BD1，垂足为E，延长CE交A1B于F，则FE?BD1，连结AE，由对称性知AE?BD1,??FEA是二面角A?BD1?A1的平面角。
D1C1连结AC，设AB=1，
则AC?AD1?2,BD1?3.
A1FEDCA2B1在Rt?ABD1中，AE?
AB?AD12， ?BD134?21 在?AEC中,cos?AEC?AE?CE?AC?2AE?AC?3??42AE?CE2AE2232222B??AEC?1200,而?FEA是?AEC的补角，??FEA?600。
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