专题 09 导数及其应用
—2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)理解并掌握函数的零点的概念，求导公式和求导法则及不等式的性质．
(5)熟练掌握利用导数研究函数零点，方程解的个数问题 ，及研究不等式成立问题、证明问题及大小比较的方法和规律． 考向预测：
(1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题．
(2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要含ex)，对数式(主要含ln x)及三角式(主要含sinx，cosx)函数的单调性、极(最)值问题．
(3)较复杂函数的零点，方程解的个数的确定与应用；利用导数解决含参数的不等式成立及不等式证明问题．
(4)利用导数解决实际生活及工程中的最优化问题．
必备知识
1．基本初等函数的八个导数公式
原函数 f(x)＝C(C为常数)
导函数 f ′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f(x)＝αxα1 f ′(x)＝cosx f ′(x)＝－sinx f ′(x)＝axln_a f ′(x)＝ex f ′(x)＝ 1 xln a－f(x)＝ln x 2.导数四则运算法则 (1)[f(x)?g(x)]?f(x)?g(x).
(2)[f(x)?g(x)]?f(x)?g(x)?f(x)?g(x).
''''''1f ′(x)＝ xf(x)'f(x)'g(x)?f(x)g(x)']?(3)[(g(x)≠0)． g(x)[g(x)]2(4)若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝a·y′u. 3．切线的斜率
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝
f_′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0). 4．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f_′(x0)>0(f_′(x0)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)． 5．函数的极值
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)
值
＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．
6．函数的最值
将函数y＝f(x)在[a，b]内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 7．(1)定积分的性质
∈
?bakf(x)dx?k?f(x)dx；
ab∈
?ba[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx；
aabb∈
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a accb(2)微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F(x)?f(x)，那么8．利用导数求函数最值的几种情况 (1)若连续函数f(x)在(a，b)内有唯一的极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在[a，b]上的最大值，{f(a)，f(b)}min 是函数f(x)在[a，b]是的最小值；若函数f(x)在(a，b)内有唯一的极小值点x0，则f(x0)是函数f(x)在[a，b]上的最小值，{f(a)，f(b)}max是函数f(x)在[a，b]是的最大值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)是函数f(x)在[a，b]上的最小值，f(b)是函数f(x)在[a，b]上的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)是函数f(x)在[a，b]上的最大值，f(b)是函数f(x)在[a，b]上的最小值． (3)若函数f(x)在[a，b]上有极值点x1，x2，…，xn(n∈N*，n≥2)，则将f(x1)，f(x2)，…，f(xn)与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是函数f(x)在[a，b]上的最大值，最小的一个是函数f(x)在[a，b] 上的最小值. 9．不等式的恒成立与能成立问题 (1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立∈I是f(x)>g(x)的解集的子集∈[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)． (2)f(x)>g(x)对x∈I能成立∈I是f(x)>g(x)的解集的交集，且I不是空集∈[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)． (3)对∈x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)∈f(x)max≤g(x)min. (4)对∈x1∈D1，∈x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)∈f(x)min≥g(x)min，f(x)定义域为D1，g(x)定义域为D2. '?baf(x)dx?F(b)?F(a)． 10．证明不等式问题 不等式的证明可转化为利用导数研究单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 【易错警示】 1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立． 2．混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标． 3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域． 真题体验 4. 对复合函数求导法则用错． 一、选择题 ，f(1))处的切线方程为（ ） 1、（2020新课标Ⅰ卷·理科T6）函数f(x)?x4?2x3的图像在点(1A. y??2x?1 B. y??2x?1 C. y?2x?3 D. y?2x?1 【答案】B 【解析】 f?x??x4?2x3，?f??x??4x3?6x2，?f?1???1，f??1???2， 因此，所求切线的方程为y?1??2?x?1?，即y??2x?1. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2、（2020新课标Ⅲ卷·理科T10）若直线l与曲线y=x和x2+y2= 1都相切，则l的方程为（ ） 5D. y= A. y=2x+1 B. y=2x+ 1 2C. y= 1x+1 211x+ 22【答案】D 【解析】设直线l在曲线y?x上的切点为x0,x0，则x0?0， ??函数y?x导数为y??12x，则直线l的斜率k?1， 2x0设直线l的方程为y?x0?由于直线l与圆x?y?2两边平方并整理得5x0?4x0?1?0，解得x0?1，x0??则直线l的方程为x?2y?1?0，即y?【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 二、填空题 1、（2020新课标Ⅰ卷·文科T15）曲线y?lnx?x?1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】y?2x 【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y?lnx?x?1,y??的221?x?x0?，即x?2x0y?x0?0， 2x0x011?相切，则， 1?4x5501（舍）， 511x?.故选：D. 221?1， xy?|x?x0?1?1?2,x0?1,y0?2，所以切点坐标为(1,2)， x0所求的切线方程为y?2?2(x?1)，即y?2x.
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