数学试卷
2019年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分） 1．（3分）（2019?达州）向东行驶3km，记作+3km，向西行驶2km记作（ ） +2km +3km A．B． ﹣2km C． D． ﹣3km 分析： 根据正数和负数表示相反意义的量，向东记为正，可得答案． 解答： 解：向东行驶3km，记作+3km，向西行驶2km记作﹣2km， 故选：B． 点评： 本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 2．（3分）（2019?达州）2019年5月21日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了《中俄东线供气购销合同》，这份有效期为30年的合同规定，从2018年开始供气，每年的天然气供应量为380亿立方米，380亿立方米用科学记数法表示为（ ） 1039383113 A．B． C． D． 3.8×10m 38×10m 380×10m 3.8×10m 考点： 科学记数法—表示较大的数． n分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 103解答： 解：将380亿立方米用科学记数法表示为：3.8×10m． 故选：A． n点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）（2019?达州）二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x≤2 A．x≥﹣2 B． x＞﹣2 C． x＜2 D． 考点： 二次根式有意义的条件． 分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 解答： 解：由题意得，﹣2x+4≥0， 解得x≤2． 故选：D． 点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 4．（3分）（2019?达州）小颖同学到学校领来n盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则n的值是（ ）
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6 7 8 9 A．B． C． D． 考点： 由三视图判断几何体． 分析： 易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层盒数，由正视图和左视图可得第二层，第三层盒数，相加即可． 解答： 解：由俯视图可得最底层有4盒，由正视图和左视图可得第二层有2盒，第三层有1盒，共有7盒， 故选：B． 点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 5．（3分）（2019?达州）一家特色煎饼店提供厚度相同、直径不同的两种煎饼，甲种煎饼直径20厘米卖价10元，乙种煎饼直径30厘米卖价15元，请问：买哪种煎饼划算？（ ） A．甲 B． 乙 C． 一样 D． 无法确定 考点： 列代数式． 分析： 先求出它们的面积，再求出每平方厘米的卖价，即可比较那种煎饼划算． 解答： 解：甲的面积=100π平方厘米，甲的卖价为元/平方厘米； 乙的面积=225π平方厘米，乙的卖价为∵＞， 元/平方厘米； ∴乙种煎饼划算， 故选：B． 点评： 本题考查了列代数式，是基础知识，要熟练掌握． 6．（3分）（2019?达州）下列说法中错误的是（ ） A．将油滴入水中，油会浮出水面是一个必然事件 1、2、3、4这组数据的中位数是2.5 B． 一组数据的方差越小，这组数据的稳定性越差 C． D．要了解某种灯管的使用寿命，一般采用抽样调查 数学试卷
考点： 随机事件；全面调查与抽样调查；中位数；方差． 分析： 利用必然事件意义、中位数、方差的性质、普查和抽样调查的特点即可作出判断． 解答： 解：A．必然事件是一定会发生的事件，将油滴入水中，油会浮出水面是一个必然事件，故A选项正确； B．1、2、3、4这组数据的中位数是=2.5，故B选项正确； C．一组数据的方差越小，这组数据的稳定性越强，故C选项错误； D．要了解某种灯管的使用寿命，具有破坏性，一般采用抽样调查，故D选项正确． 故选：C． 点评： 本题主要考查了必然事件意义、中位数、方差的性质、普查和抽样调查的特点，熟练掌握性质及意义是解题的关键． 7．（3分）（2019?达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ）
A．90°﹣α 考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理． 分析： 先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数． 解答： 解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α， ∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线， B． 90°+α C． D． 360°﹣α ∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α， 则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α． 故选：C． 点评： 本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题． 8．（3分）（2019?达州）直线y=kx+b不经过第四象限，则（ ） A．k＞0，b＞0 B． k＜0，b＞0 C． k≥0，b≥0 D． k＜0，b≥0 考点： 一次函数图象与系数的关系． 分析： 直接根据一次函数图象与系数的关系求解． 解答： 解：∵直线y=kx+b不经过第四象限，即直线过第一、三象限且与y轴的交点不在x轴的下方， ∴k≥0，b≥0． 数学试卷
故选：C． 点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 9．（3分）（2019?达州）如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D． ①△OB1C∽△OA1D； ②OA?OC=OB?OD； ③OC?G=OD?F1； ④F=F1．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 相似三角形的应用． 专题： 跨学科． 分析： 根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判断出①正确； 根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确； 根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式阻力判断出③正确； 求出F的大小不变，判断出④正确． 解答： 解：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA， ∴B1C∥A1D， ∴△OB1C∽△OA1D，故①正确； ∴=， 由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1， ∴OA?OC=OB?OD，故②正确； 由杠杆平衡原理，OC?G=OD?F1，故③正确； ∴===是定值， 数学试卷
∴F1的大小不变， ∴F=F1，故④正确． 综上所述，说法正确的是①②③④． 故选：D． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键． 10．（3分）（2019?达州）如图是二次函数y=ax+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
2
①b＞4ac； ②4a﹣2b+c＜0；
2
③不等式ax+bx+c＞0的解集是x≥3.5； ④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2． 上述4个判断中，正确的是（ ）
2
①② A． ①④ B． ①③④ C． ②③④ D． 考点： 二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）． 2分析： 根据抛物线与x轴有两个交点可得b﹣4ac＞0，进而判断①正确； 根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确； 22如果设ax+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误； 先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确． 解答： 解：①∵抛物线与x轴有两个交点， 2∴b﹣4ac＞0， 2∴b＞4ac，故①正确； ②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误； 22③如果设ax+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误； 2④∵二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=1， ∴x=﹣2与x=4时的函数值相等， ∵4＜5， ∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2，故④正确． 故选：B． 点评： 主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用． 数学试卷
二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分．把最后答案直接填在题中的横线上）
23369
11．（3分）（2019?达州）化简：（﹣ab）= ﹣ab ． 考点： 幂的乘方与积的乘方． 分析： 根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案． 32×33×369解答： 解：原式=（﹣1）ab=﹣ab， 69故答案为：﹣ab． 点评： 本题考查了积的乘方，积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题关键． 12．（3分）（2019?达州）“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”，自开展“阳光体育运动”以来，学校师生的锻炼意识都增强了，某校有学生8200人，为了解学生每天的锻炼时间，学校体育组随机调查了部分学生，统计结果如表． 时间段 频数 频率 108 0.54 29分钟及以下 24 0.12 30﹣39分钟 m 0.15 40﹣49分钟 18 0.09 50﹣59分钟 20 0.1 1小时及以上 表格中，m= 30 ；这组数据的众数是 108 ；该校每天锻炼时间达到1小时的约有 820
人． 考点： 频数（率）分布表；用样本估计总体；众数． 分析： 根据表格中29分钟及以下的频数与对应的频率求出调查的总人数，再用调查的总人数乘0.15即为m的值；根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可求出这组数据的众数；根据表格可知每天锻炼时间达到1小时的频率为0.1，再用样本估计总体的方法用8200乘0.1即可求解． 解答： 解：∵每天锻炼时间在29分钟及以下的频数为108，对应的频率为0.54， ∴调查的总人数为108÷0.54=200（人）， ∴m=200×0.15=30（人）， ∵每天锻炼时间在29分钟及以下的有108人，人数最多， ∴这组数据的众数是108； 该校每天锻炼时间达到1小时的约有8200×0.1=820（人）． 故答案为：30；108；820． 点评： 本题考查读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时考查了众数的定义及用样本估计总体的思想． 13．（3分）（2019?达州）《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图．
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由图易得：= ．
考点： 规律型：图形的变化类． 分析： 由图可知第一次剩下，截取1﹣；第二次剩下，共截取1﹣；…由此得出第n次剩下解答： 解：=1﹣ ，共截取1﹣ ，得出答案即可． =． 故答案为：． 点评： 此题考查图形的变化规律，找出与数据之间的联系，得出规律解决问题． 14．（3分）（2019?达州）己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则a﹣b= ± ． 考点： 完全平方公式． 专题： 计算题． 22分析： 将a+b=5两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求出a+b的值，再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值． 222解答： 解：将a+b=5两边平方得：（a+b）=a+b+2ab=25， 22将ab=3代入得：a+b=19， 222∴（a﹣b）=a+b﹣2ab=19﹣6=13， 则a﹣b=±． 故答案为：± 点评： 此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 15．（3分）（2019?达州）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是 π﹣2 ．
考点： 扇形面积的计算；等腰直角三角形． 数学试卷
分析： 通过图形知S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积，所以由圆的面积公式和三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积． 解答： 解：∵在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积是： S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积 = =π﹣2． 故答案为：π﹣2． 点评： 本题考查了扇形面积的计算、勾股定理．解题的关键是推知S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积． 16．（3分）（2019?达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是 cm．
考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF． 解答： 解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大， 由翻折的性质得，BC=B′C=10cm， 在Rt△B′DC中，B′D=∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm， 设BE=x，则B′E=BE=x， AE=AB﹣BE=6﹣x， 222在Rt△AB′E中，AE+AB′=B′E， 222即（6﹣x）+2=x， 解得x=， ==8cm， 在Rt△BEF中，EF===cm． 数学试卷
故答案为：． 点评： 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观． 三、解答题（72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（2019?达州）计算：
．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果． 解答： 解：原式=+1+2﹣1=+2． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键． 18．（6分）（2019?达州）化简求值：
，a取﹣1、0、1、2
中的一个数． 考点： 分式的化简求值． 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可． 解答： 解：原式=?﹣ ==﹣﹣， 当a=2时，原式=﹣=﹣1． 点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19．（7分）（2019?达州）四张背面完全相同的纸牌（如图，用①、②、③、④表示），正面分别写有四个不同的条件．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张（不放回），再随机抽出一张．
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（1）写出两次摸牌出现的所有可能的结果（用①、②、③、④表示）；
（2）以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率． 考点： 列表法与树状图法；平行四边形的判定． 分析： （1）利用树状图展示所有等可能的结果数； （2）由于共有12种等可能的结果数，根据平行四边形的判定能判断四边形ABCD为平行四边形有6种，则根据概率公式可得到能判断四边形ABCD为平行四边形的概率=． 解答： 解：（1）画树状图为： （2）共有12种等可能的结果数， 其中能判断四边形ABCD为平行四边形有6种：①③、①④、②③、③①、③②、④①， 所以能判断四边形ABCD为平行四边形的概率==． 点评： 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．也考查了平行四边形的判定． 20．（7分）（2019?达州）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商家共盈利多少元？ 考点： 分式方程的应用． 分析： 设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为（x+8）元，根据第二批进货是第一批购进数量的2倍，列方程求出x的值，然后求出盈利． 解答： 解：设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为（x+8）元， 由题意得，×2=， 解得：x=80， 经检验；x=80是原分式方程的解，且符合题意， 则第一次进货100件， 第二次进货的单价为88元，第二次进货200件， 总盈利为：（100﹣80）×100+（100﹣88）×（200﹣10）+10×（100×0.8﹣88）=4200（元）． 答：在这两笔生意中，商家共盈利4200元． 数学试卷
点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 21．（8分）（2019?达州）如图，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E． （1）求证：DE与⊙O相切；
（2）连结AD，己知BC=10，BE=2，求sinBAD的值．
考点： 切线的判定． 专题： 计算题． 分析： （1）连结OD，利用角平分线的定义得∠CBD=∠QBD，而∠OBD=∠ODB，则∠ODB=∠QBD，于是可判断OD∥BQ，由于DE⊥PQ，根据平行线的性质得OD⊥DE ，则可根据切线的判定定理得到DE与⊙O相切； （2）连结CD，根据圆周角定理由BC是⊙O的直径得到∠BDC=90°，再证明Rt△BCD∽△BDE，利用相似比可计算出BD=2，在Rt△BCD中，根据正弦的定义得到sin∠C==，然后根据圆周角定理得∠BAD=∠C，即有sin∠BAD=． 解答： （1）证明：连结OD，如图， ∵BD平分∠CBQ交⊙O于点D， ∴∠CBD=∠QBD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠ODB=∠QBD， ∴OD∥BQ， ∵DE⊥PQ， ∴OD⊥DE， ∴DE与⊙O相切； （2）解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∵∠CBD=∠QBD， ∴Rt△BCD∽△BDE， ∴=，即， =， ∴BD=2数学试卷
在Rt△BCD中，sin∠C=∵∠BAD=∠C， ∴sin∠BAD=． ==， 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、锐角三角函数和相似三角形的判定与性质． 22．（8分）（2019?达州）达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°．己知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm，如图（1）．请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD，如图（2），要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡．
（1）在图（3）中画出设计草图；
（2）求BC、CD的长度（结果精确到个位）（参考数据：sin35.5°≈0.58，cos35.5°≈0.81，tan35.5°≈0.71，sin82.5°≈0.99，cos82.5°≈0.13，tan82.5°≈7.60） 考点： 解直角三角形的应用． 分析： （1）根据题意结合入射角度进而画出符合题意的图形即可； （2）首先设CD=x，则tan35.5°=，表示出DC的长，进而利用tan82.5°=求出DC的长，进而得出答案． 解答： 解：（1）如图所示： （2）由题意可得出：∠CDB=35.5°，∠CDA=82.5°， 设CD=x，则tan35.5°=∴BC=0.71x， ， 数学试卷
∴在Rt△ACD中， tan82.5°===0.76， 解得：x≈30， ∴BC=0.71×30≈21（cm）， 答：BC的长度是21cm，CD的长度是30cm． 点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系进而求出CD的长是解题关键． 23．（8分）（2019?达州）如图，直线L：y=﹣x+3与两坐标轴分别相交于点A、B． （1）当反比例函数求m的取值范围． （2若反比例函数时，求m的值．
（3）在（2）的条件下，请你直接写出关于x的不等式﹣x+3＜的解集．
（m＞0，x＞0）在第一象限内与直线L相交于点C、D，当CD=（m＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点时，
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）根据方程有交点，可得判别是大于或等于0，可得答案； （2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，根据两点间距离公式，可得答案； （3）根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集． 解答： 解：（1）当反比例函数（m＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点，得 数学试卷
﹣x+3=，x﹣3x+m=0， △=（﹣3）﹣4m≥0， 解得m≤． ∴m的取值范围为：0＜x≤． （2）x﹣3x+m=0， x1+x2=3，x1?x2=m， CD=， 2（9﹣4m）=8， m=； （3）当m=时，x﹣3x+m=0， 解得x1=，x2=， 由反比例函数图象在上方的区域得0＜x＜，或x． 2222， 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，两点间的距离公式，一次函数与不等式的关系． 24．（10分）（2019?达州）倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”及后面的问题． 习题解答： 习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．
解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上． ∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF， 又∵AE′=AE，AF=AF
∴△AE′F≌△AEF（SAS） ∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF． 习题研究
观察分析：观察图（1），由解答可知，该题有用的条件是①ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=∠BAD．
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类比猜想：（1）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B=∠D时，还有EF=BE+DF吗？
研究一个问题，常从特例入手，请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？
（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF吗？
归纳概括：反思前面的解答，思考每个条件的作用，可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题： 在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则EF=BE+DF ．
考点： 四边形综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）根据菱形的性质和∠EAF=60°得到AB=AD，∠1+∠3=60°，∠B=∠ADC=60°，则把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据旋转的性质得∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，则∠2+∠3=60°，所以∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，则点F、D、E′不共线，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF； （2）如图（3），由于AB=AD，则把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3），根据旋转的性质得∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，由于∠B+∠D=180，则∠ADE′+∠D=180°，所以点F、D、E′共线，利用∠EAF=∠BAD，得到∠1+∠2=∠BAD，则∠2+∠3=∠BAD，所以∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，所以EF=DE′+DF=BE+DF； 根据前面的条件和结论可归纳为：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当满足AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则有EF=BE+DF． 解答： 解：（1）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF． 理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∴AB=AD，∠1+∠3=60°，∠B=∠ADC=60°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F， ∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°， ∴∠2+∠3=60°， 数学试卷
∴∠EAF=∠E′AF， 在△AEF和△AE′F中 ， ∴△AEF≌△AE′F（SAS）， ∴EF=E′F， ∵∠ADE′+∠ADC=120°，即点F、D、E′不共线， ∴DE′+DF＞EF ∴BE+DF＞EF； （2）当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF成立． 理由如下：如图（3）， ∵AB=AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′，如图（3）， ∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B， ∵∠B+∠D=180， ∴∠ADE′+∠D=180°， ∴点F、D、E′共线， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠1+∠2=∠BAD， ∴∠2+∠3=∠BAD， ∴∠EAF=∠E′AF， 在△AEF和△AE′F中 ， ∴△AEF≌△AE′F（SAS）， ∴EF=E′F， ∴EF=DE′+DF=BE+DF； 归纳：在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=∠BAD时，则EF=BE+DF． 数学试卷
点评： 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握特殊平行四边形的性质和旋转的性质；会运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题． 25．（12分）（2019?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．
考二次函数综合题． 点： 专压轴题；分类讨论． 题： 分（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把数学试卷
析： 点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式． （2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值；本问需分类讨论： ①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示； ②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略． （3）△PQB为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解： ①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示； ②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示； ③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示． 解解：（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0）， 答： ∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）． ∵点B（4，4）在该抛物线上， ∴a×4×（4﹣5）=4． ∴a=﹣1． 2∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x+5x． （2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大． ①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示． ∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x． 设M（x，﹣x+5x）， 过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x）， ∴ME=（﹣x+5x）﹣x=﹣x+4x． S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME?xB=ME×4=2ME， ∴S△OBM=﹣2x+8x=﹣2（x﹣2）+8 ∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大． ②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略． 可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20． 2设M（x，﹣x+5x）， 过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20）， ∴ME=（﹣x+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x+9x﹣20． S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME?（xA﹣xB）2222222数学试卷
=ME×1=ME， ∴S△ABM=﹣x+x﹣10=﹣（x﹣）+ ∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大． 比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大． 2当x=2时，y=﹣x+5x=6， ∴M（2，6）． （3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上． 设P（m，﹣m+5m），则Q（m，m） 当△PQB为等腰三角形时， ①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示． 过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点， ∴E（m，）． 222∵BE∥x轴，B（4，4）， ∴=4， 解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去） ∴m=2； ②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示． 易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形． ∴PB∥x轴， ∴﹣m+5m=4， 解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去） ∴m=1； ③若点P为顶点，即PQ=QB，如答图2﹣3所示． 2∵P（m，﹣m+5m），Q（m，m）， 2∴PQ=﹣m+4m． 又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m）， 2∴﹣m+4m=（4﹣m）， 2数学试卷
解得：m=或m=4（与点B重合，舍去）， ∴m=． 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或． 点本题是二次函数压轴题，涉及考点较多，有一定的难度．重点考查了分类讨论的数学思评： 想，第（2）（3）问均需要进行分类讨论，避免漏解．注意第（2）问中求面积表达式的方法，以及第（3）问中利用方程思想求m值的方法．
四川省达州市2019年中考数学试卷及答案(word版含解析)
