220＋240
(2)月平均用电量的众数是＝230(度)。
2因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，
所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，
得a＝224，
所以月平均用电量的中位数是224度。 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有 0．012 5×20×100＝25(户)， 月平均用电量为[240,260)的用户有 0．007 5×20×100＝15(户)， 月平均用电量为[260,280)的用户有 0．005×20×100＝10(户)， 月平均用电量为[280,300]的用户有 0．002 5×20×100＝5(户)， 抽取比例＝5(户)。
[点评] 标。
2
中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中
位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值。
3平均数：用频率直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和。
?π?19.已知函数f(x)＝4sin?x－?cosx＋3.
3??
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
?π?(2)若m－3 2?? 3?1? 解：(1)f(x)＝4?sinx－cosx?cosx＋3 2?2?2 ＝2sinxcosx－23cosx＋3 π??＝sin2x－3cos2x＝2sin?2x－?， 3?? 1 众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐1111＝，所以在月平均用电量为[220,240)的用户中应抽取25×＝ 25＋15＋10＋555 ?5????k??,k???36? 所以函数f(x)的最小正周期是π.递减区间?π (2)令t＝2x－， 3?π??π2π?因为x∈?0，?，所以t∈?－，?， 2?3???3则sint∈?－ ??3? ，1?，2sint∈(－3，2]， 2? 即f(x)∈(－3，2]. 由题意知? ?m－3≤－3， 解得－1 ?m＋3>2， 即实数m的取值范围是(－1，3－3]． 20.（1）直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程． (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； 解：(1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式可得 |4k－3|3332＝，解k＝－6±14.故所求直线的方程为y＝(－6±14)x. 2 221＋k(2)当直线不经过坐标原点时，设所求直线为＋＝1，即x＋y－a＝0.由题意可得 xyaa|4＋3－a| ＝2 32.解a＝1或a＝13.故所求直线的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.综上可知，所求直线的方3?－6±14?程为y＝??x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0. 2?? b＝－4a， ??（3－a）＋（－2－b）＝r， 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，则有? |a＋b－1|??2＝r， 2 2 2 2 2 2 解得a＝1，b＝－4，r＝22. 所以圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径r＝（1－3）＋（－4＋2）＝22， 所以所求圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8. 21.有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响。据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表： 所用的时间/时 通过公路1的频数 通过公路2的频数 10 20 10 11 40 40 12 20 40 13 20 10 2 2 2 2 2 2 (1)为进行某项研究，从所用时间为12小时的60辆汽车中随机抽取6辆。 (ⅰ)若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆； (ⅱ)若从(ⅰ)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率。 (2)假设汽车A只能在约定时间的前11小时出发，汽车B只能在约定时间的前12小时出发。为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车A和汽车B应如何选择各自的道路。 20 [解] (1)(ⅰ)由分层抽样的特点，易得从通过公路1的汽车中抽取6×＝2辆汽车， 20＋40 40 从通过公路2的汽车中抽取6×＝4辆汽车。 20＋40 (ⅱ)记通过公路1的2辆汽车分别为A1，A2，通过公路2的4辆汽车分别为B1，B2，B3，B4， 从6辆汽车中任意抽取2辆汽车共有15种可能的情况： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)。 其中至少有1辆通过公路1的情况有9种， 3 所以至少有1辆通过公路1的概率为。 5(2)作出频率分布表，如下： 所用的时间/时 通过公路1的频率 通过公路2的频率 到城市乙； 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1 设C1，C2分别表示事件汽车A在约定时间的前11小时出发选择公路1,2将货物按时从城市甲运D1，D2分别表示事件汽车B在约定时间的前12小时出发选择公路1,2将货物按时从城市甲运到 城市乙。 则P(C1)＝0.2＋0.4＝0.6， P(C2)＝0.1＋0.4＝0.5。 所以汽车A应选择公路1。 P(D1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8， P(D2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， 所以汽车B应选择公路2。 [点评] 古典概型在高考中常与函数、向量、解析几何、统计知识交汇命题。解决这类问题时，把相关知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式进行计算。 1a22.定义在[－4，4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－4，0]时，f(x)＝x＋x(a∈R). 43 (1)求f(x)在[0，4]上的解析式； m1 (2)若x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤x－x－1恒成立，求实数m的取值范围. 23 1a解：(1)因为f(x)是定义在[－4，4]上的奇函数，x∈[－4，0]时，f(x)＝x＋x， 43 1a所以f(0)＝0＋0＝0，解得a＝－1， 43 11 所以x∈[－4，0]时，f(x)＝x－x. 43 当x∈[0，4]时，－x∈[－4，0]， 11xx所以f(－x)＝－x－－x＝4－3， 43 又f(－x)＝－f(x)， xxxx所以－f(x)＝4－3，f(x)＝3－4， xx即f(x)在[0，4]上的解析式为f(x)＝3－4. 11 (2)由(1)知，x∈[－2，－1]时，f(x)＝x－x， 43 m111m1 所以f(x)≤x－x－1可化为x－x≤x－x－1， 234323 x＋1 12?1?x?2?x整理得m≥x＋x＝??＋2·??， 23?2??3??1?x?2?x?1?x?2?x令g(x)＝??＋2·??，根据指数函数单调性可得，y＝??与y＝??都是减函数，所以g(x) ?2??3??2??3? 也是减函数． m1 因为x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤x－x－1恒成立， 23 等价于m≥g(x)在x∈[－2，－1]上恒成立， 917 所以，只需m≥g(x)max＝g(－2)＝4＋2×＝. 42 ?17?所以实数m的取值范围是?，＋∞?. ?2?
宁夏吴忠市吴忠中学2020_2021学年高二数学上学期开学分科考试试题
