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∵△MGN沿MG折叠， ∴∠NMG＝∠OMG， ∴∴
＝＝
，且NG＝ON﹣OG，
，解得OG＝
﹣1，
∴G（0，﹣1）．
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．
5．已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直线l经过点B，并且与直线AB垂直．点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形． （1）求直线AB的解析式； （2）求点P的坐标； （3）点Q（a，b）在第二象限，且S△QAB＝S△PAB． ①用含a的代数式表示b；
②若QA＝QB，求点Q的坐标．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，根据待定系数法即可求得； （2）作PC⊥y轴于C，证得△ABO≌△BPC，从而得出AO＝BC＝2，BO＝PC＝4，根据图象即可求得点P的坐标；
（3）①由题意可知Q点在经过P1点且垂直于直线l的直线上，得到点Q所在的直线平行于直线AB，设点Q所在的直线为y＝2x+n，代入P1（﹣4，6），求得n的值，即可求得点Q所在的直线为y＝2x+14，代入Q（a，b）即可得到b＝2a+14；
22222
②由QA＝QB，根据勾股定理得出（a+2）+b＝a+（b﹣4），进一步得到（a+2）+
222
（2a+14）＝a+（2a+14﹣4），解方程即可求得a的值，从而求得Q点的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b中得：解得：
，
，
则直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）如图1所示：作PC⊥y轴于C，
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∵直线l经过点B，并且与直线AB垂直． ∴∠ABO+∠PBC＝90°， ∵∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠PBC，
∵△ABP是等腰直角三角形， ∴AB＝PB，
在△ABO和△BPC中，
∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴AO＝BC＝2，BO＝PC＝4，
∴点P的坐标（﹣4，6）或（4，2）； （3）①∵点Q（a，b）在第二象限，且S△QAB＝S△PAB． ∴Q点在经过P1点且垂直于直线l的直线上， ∴点Q所在的直线平行于直线AB， ∵直线AB解析式为y＝2x+4， ∴设点Q所在的直线为y＝2x+n， ∵P1（﹣4，6），
∴6＝2×（﹣4）+n， 解得n＝14，
∴点Q所在的直线为y＝2x+14， ∵点Q（a，b）， ∴b＝2a+14；A（﹣2，0），B（0，4） ②∵QA＝QB，
2222
∴（a+2）+b＝a+（b﹣4）， ∵b＝2a+14，
2222
∴（a+2）+（2a+14）＝a+（2a+14﹣4）， 整理得，10a＝﹣50， 解得a＝﹣5，b＝4， ∴Q的坐标（﹣5，4）．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两直线平行的性质等．
6．如图，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直
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线OP交AB于点E
（1）求点D的坐标及直线OP的解析式；
（2）求△ODP的面积，并在直线AD上找一点N，使△AEN的面积等于△ODP的面积，请求出点N的坐标
（3）在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由
【分析】（1）根据长方形的性质可得出点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再由点P是AD的中点可得出点P的坐标，进而可得出正比例函数OP的解析式；
（2）利用三角形面积的公式可求出S△ODP的值，由直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标，设点N的坐标为（m，﹣m+8），由△AEN的面积等于△ODP的面积，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值，再将其代入点N的坐标中即可得出结论；
（3）由点T的坐标可得出点F，G的坐标，分∠FGQ＝90°、∠GFQ＝90°及∠FQG＝90°三种情况考虑：①当∠FGQ＝90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；②当∠GFQ＝90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；③当∠FQG＝90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标．综上，此题得解． 【解答】解：（1）∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，6）， ∴点A的坐标为（8，0），BC∥x轴． ∵直线y＝﹣x+b经过点A， ∴0＝﹣8+b， ∴b＝8，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+8． 当y＝6时，有﹣x+8＝6， 解得：x＝2，
∴点D的坐标为（2，6）． ∵点P是AD的中点， ∴点P的坐标为（
，
），即（5，3），
∴直线OP的解析式为y＝x．
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（2）S△ODP＝S△ODA﹣S△OPA， ＝×8×6﹣×8×3， ＝12．
当x＝8时，y＝x＝∴点E的坐标为（8，
， ）．
设点N的坐标为（m，﹣m+8）． ∵S△AEN＝S△ODP， ∴×
×|8﹣m|＝12，
解得：m＝3或m＝13，
∴点N的坐标为（3，5）或（13，﹣5）． （3）∵点T的坐标为（t，0）（5＜t＜8），
∴点F的坐标为（t，t），点G的坐标为（t，﹣t+8）． 分三种情况考虑：
①当∠FGQ＝90°时，如图1所示． ∵△FGQ为等腰直角三角形， ∴FG＝GQ，即t﹣（﹣t+8）＝8﹣t， 解得：t＝
，
）；
此时点Q的坐标为（8，
②当∠GFQ＝90°时，如图2所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形， ∴FG＝FQ，即t﹣（﹣t+8）＝8﹣t， 解得：t＝，
）；
此时点Q的坐标为（8，
③当∠FQG＝90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，如图3所示．
∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG＝2QS，即t﹣（﹣t+8）＝2（8﹣t）， 解得：t＝
，
，4），点G的坐标为（
，）
此时点F的坐标为（
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此时点Q的坐标为（8，），即（8，）．
时点Q
综上所述：在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t＝的坐标为（8，
）或（8，
），当t＝
时点Q的坐标为（8，）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、中点坐标公式、三角形的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式结合两三角形面积相等，找出关于m的含绝对值符号的一元一次方程；（3）分∠FGQ＝90°、∠GFQ＝90°及∠FQG＝90°三种情况求出t值．
7．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+8的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的函数解析式． （2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，请直接写出点P的坐标．
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式；
（2）设点P的坐标为（x，x+4），利用三角形的面积公式结合S△ABP＝S△AOB，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标； （3）设点H的坐标为（m，n），分别以△ABM的三边为对角线，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点H的坐标，此题得
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2019中考数学二轮专题《动态问题4》
