www.szzx100.com 江南汇教育网
y＝x和y＝﹣x+．
（1）求正方形OABC的边长；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？
（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．
15．如图在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x，y轴上，已知OA＝3，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），CD＝5，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段A﹣C﹣B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒
（1）求B，C两点坐标；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数关系式；
②当点D关于OP的对称点E落在x轴上时，求点E的坐标； （3）在（2）②情况下，直线OP上求一点F，使FE+FA最小．
16．如图，在直角坐标系中，⊙O的圆心O在坐标原点，直径AB＝6，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y＝x+m，当直线PQ交y轴于Q，交⊙O于C、D两点时，过点C作CE垂直于x轴交⊙O于点E，过点E作EG垂直于y轴，垂足为G，过点C作CF垂直于y轴，垂足为F，连接DE． （1）点P在运动过程中，∠CPB＝ °； （2）当m＝2时，试求矩形CEGF的面积；
22
（3）当P在运动过程中，探索PD+PC的值是否会发生变化？如果发生变化，请你说明理由；如果不发生变化，请你求出这个不变的值；
（4）如果点P在射线AB上运动，当△PDE的面积为3时，请你求出CD的长度．
6
www.szzx100.com 江南汇教育网
17．已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B(4，4)，点P(t，0)是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD． （1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值； （3）如图2，抛物线y＝﹣x+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
2
18．如图1，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y＝
2
ax+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为﹣2． （1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，得△ABC．若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出点P的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径；
（3）设直线l：y＝x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得∠AEB为直角，则t的取值范围是 ；
（4）点F是抛物线上一动点，若∠AFC为直角，则点F坐标为 ．
7
www.szzx100.com 江南汇教育网
19．在平面直角坐标系内，已知点A和C的坐标分别为（8，0）和（5，4），过点C作CB⊥y轴于点B，点D从B出发，以每秒1个单位的速度延BO向终点O运动，点P从C出发，以每秒a（0＜a≤1.25）个单位的速度延CB向终点B运动（当D点到达O点，P点也随之停止）．过D作DE∥AC交OA于点E，过P作PQ∥AC交OA于点，连接PD，再过E作EF∥PD交PQ于F．设P、D两点的运动时间为t．
（1）分别求过A、C两点的直线和过B、C、A三点的抛物线的解析式；
（2）若a＝1，求t为何值时，四边形DEFP为矩形？并求出此时直线PQ的解析式； （3）是否存在这样的a，t的值，使四边形DEFP为正方形？若存在，求出此时a，t的值和正方形的面积；若不存在，说明理由；
（4）以A、O、C为顶点的△AOC中，M是AC上一动点，过M作MN∥OA交OC于N，试问，在x轴上是否存在点R，使得△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知直线
分别交y轴、x轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方
2
形ABCD过点A，D，C的抛物线y＝ax+bx+1与直线的另一交点为点E．
（1）点C的坐标为 ；点D的坐标为 ．并求出抛物线的解析式；
（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
8
www.szzx100.com 江南汇教育网
答案与解析
1．如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N． （1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
2
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设M（x，﹣x+x+2），则N（x，﹣x+2），则MN＝﹣x+x，根据三角形面积公式得到S△CDM＝×MN×2＝﹣x+x，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出抛物线的对称轴为直线x＝1得到E（1，0），讨论：当CM∥EF时，则M（2，2），利用平行四边形的性质得CM＝EF＝2，从而得到此时F点坐标；当CE∥MF时，由于点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点，所以点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点，设F（t，0），则M（t+1，﹣2），然后把M（t+1，﹣2）代入y＝﹣x+x+2得﹣（t+1）+（t+1）+2＝﹣2，则解方程求出得到此时F点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），点C（0，2）， ∴
，解得
2
2
2
2
2
2
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x+x+2； （2）存在．
当y＝0，﹣x+2＝0，解得x＝2，则D（2，0）， 设M（x，﹣x+x+2），则N（x，﹣x+2），
9
2
www.szzx100.com 江南汇教育网
∴MN＝﹣x+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x+x， ∴S△CDM＝×MN×2＝﹣x+x＝﹣（x﹣）+∵a＝﹣＜0，∴当a＝时，S△CDM有最大值为
；
2
2
22
，
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴E（1，0），
当CM∥EF时，则M（2，2），
∵以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形， ∴CM＝EF＝2，
∴F点坐标为（3，0）或（﹣1，0）； 当CE∥MF时，
∵以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形， ∴CM＝EF，
∵点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点， ∴点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点， 设F（t，0），则M（t+1，﹣2），
把M（t+1，﹣2）代入y＝﹣x+x+2得﹣（t+1）+（t+1）+2＝﹣2，解得t1＝
2
2
，
t2＝﹣，
此时F点坐标为（，0），（﹣，0），
综上所述，F点坐标为（3，0）或（﹣1，0）或（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向点A匀速运动；同时点D从点O出发，以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动，到达终点后运动立即停止．连接CD，取CD的中点E，过点E作EF⊥CD，与折线DO﹣OA﹣AC交于点F，设运动时间为t秒． （1）点C的坐标为 （3t，4﹣4t） （用含t的代数式表示）； （2）求证：点E到x轴的距离为定值；
（3）连接DF、CF，当△CDF是以CD为斜边的等腰直角三角形时，求CD的长．
10
2024中考数学二轮专题《动态问题4》
