课时跟踪检测（二）命题及其关系、充分条件与必要条件
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1
解析：选B 若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能
2推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
11
2．设a，b∈R，则“a3＞b3且ab＜0”是“a＞b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
11
解析：选A 由a3＞b3，知a＞b，由ab＜0，知a＞0＞b，所以此时有＞，故充分性
ab11
成立；当＞时，若a，b同号，则a＜b，若a，b异号，则a＞b，所以必要性不成立．故
ab选A.
3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若φ＝0，则f(x)＝cos x为偶函数；若f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．
4．命题p：“若x2＜1，则x＜1”的逆命题为q，则p与q的真假性为( ) A．p真q真 C．p假q真
解析：选B q：若x＜1，则x2＜1. ∵p：x2＜1，则－1＜x＜1.∴p真，
当x＜1时，x2＜1不一定成立，∴q假，故选B.
5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为( ) A．(5，＋∞) C．(－∞，5)
B．[5，＋∞) D．(－∞，5] B．p真q假 D．p假q假
解析：选D 由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}?{x|x＞a}，∴a≤5，故选D.
二保高考，全练题型做到高考达标
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”． 2．命题“对任意实数x∈[1,2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A．a≥4 C．a≥3
B．a≤4 D．a≤3
解析：选C 即由“对任意实数x∈[1,2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x∈[1,2]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”．因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，x2－a≤0恒成立，即x2≤a，因此a≥4；反之亦然．故选C.
3．有下列命题：
①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题； ④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A．①②③ C．①③④
B．②③④ D．①④
解析：选C ①的逆命题为“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞0的解集为R，则m≥1. ∵当m＝0时，解集不是R，
??m＞0，∴应有? 即m＞1.
??Δ＜0，
∴③是真命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
π
4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l的斜率为k，倾斜角为θ，则“0＜θ≤”是
4“k≤1”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
πππ
解析：选A 当0＜θ≤时，0＜k≤1；反之，当k≤1时，0≤θ≤或＜θ＜π.故“0＜
442π
θ≤”是“k≤1”的充分不必要条件，故选A.
4
5．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A．a≥4 C．a≥1
B．a＞4 D．a＞1
解析：选B 要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a＞4是命题为真的充分不必要条件．
6．命题“若a＞b，则ac2＞bc2(a，b∈R)”，否命题的真假性为________． 解析：命题的否命题为“若a≤b，则ac2≤bc2”． 若c＝0，结论成立．
若c≠0，不等式ac2≤bc2也成立． 故否命题为真命题． 答案：真 7．下列命题：
①“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要条件； ③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．
其中是真命题的是________(填序号)． 解析：①a＞b a2＞b2，且a2＞b2 ②a2＞b2?|a|＞|b|，故②正确；
③a＞b?a＋c＞b＋c，且a＋c＞b＋c?a＞b，故③正确． 答案：②③
11
8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜”是“sin(α＋β)＜”的________条件．
33
a＞b，故①不正确；
1解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜，
31π1
则有sin(α＋β)＜，故充分性成立；当α＝β＝时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜，而sin α＋sin
32311
β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜”是“sin(α
331
＋β)＜”的充分不必要条件．
3
答案：充分不必要 9．已知p：实数m满足
m2＋12a2＜7am(a＞0)，q：方程
x2y2
＋＝1表示焦点在ym－12－m
轴上的椭圆．若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由
a＞0，m2－7am＋12a2＜0，得
x2
3a＜m＜4a，即p：3a＜m＜4a，a＞0.由方程
m－1
y23＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m＞m－1＞0，解得1＜m＜，即q：1＜m
22－m
3a＞1，3a≥1，????313
?＜.因为p是q的充分不必要条件，所以?或解得≤a≤，所以实数33238
???4a≤2?4a＜2，13?a的取值范围是??3，8?.
13?答案：??3，8?
??33
，2??，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是y＝x2－x＋1，x∈?10．已知集合A＝?y??4?2?
?
?
“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
337
x－?2＋， 解：y＝x2－x＋1＝??4?1623?
∵x∈??4，2?， 7
∴≤y≤2， 16
?7?
≤y≤2?. ∴A＝?y??16
?
?
由x＋m2≥1，得x≥1－m2， ∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A?B，∴1－m2≤
7， 16
33
解得m≥或m≤－，
44
33
－∞，－?∪?，＋∞?. 故实数m的取值范围是?4??4??三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知p：x≥k，q：是( )
A．[2，＋∞) C．[1，＋∞)
B．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
3
＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围x＋1
2－x33
解析：选B 由＜1得，－1＝＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x
x＋1x＋1x＋1＞2，由p是q的充分不必要条件知，k＞2，故选B.
2．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．
①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a，b满足a∈[1]，b∈[2]，则a＋b∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”．
解析：由“类”的定义[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3，可知，只要整数m＝4n＋k，n∈Z，k＝0,1,2,3，则m∈[k]，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a＋b∈[3]，不妨设a＝0，b＝3，则此时a?[1]且b?[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a，b属于同一类”，不妨设a＝4m＋k，b＝4n＋k，m，n∈Z，且k＝0,1,2,3，则a－b＝4(m－n)＋0，所以a－b∈[0]；反之，不妨设a＝4m＋k1，b＝4n＋k2，m，n∈Z，k1＝0,1,2,3，k2＝0,1,2,3，则a－b＝4(m－n)＋(k1－k2)，若a－b∈[0]，则k1－k2
人教版高考数学复习：课时跟踪检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件
