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成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析（一）
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．
1．当x→0时，x2
是x-1n(1+x)的（ ）． A．较高阶的无穷小量 B．等价无穷小量
C．同阶但不等价的无穷小量 D．较低阶的无穷小量
2．设函数?(sinx)=sin2
x，则?ˊ(x)等于（ ）． A．2cos x
B．-2sin xcosx C．％ D．2x
3．以下结论正确的是（ ）．
A．函数?(x)的导数不存在的点，一定不是?(x)的极值点 B．若x0为函数?(x)的驻点，则x0必为?(x)的极值点
C．若函数?(x)在点x0处有极值，且?ˊ(x0)存在，则必有?ˊ(x0)=0 D．若函数?(x)在点x0处连续，则?ˊ(x0)一定存在 4．
A． B．
C．exdx D．exIn xdx
5．函数y=ex-x在区间(-1，1)内（ ）． A．单调减少 B．单调增加 C．不增不减 D．有增有减 6．
A．F(x) B．-F(x) C．0 D．2F(x)
7．设y=?(x)二阶可导，且?ˊ(1)=0,?″(1)>0，则必有（ ）． A．?(1)=0
B．?(1)是极小值 C．?(1)是极大值 D．点(1,?(1))是拐点
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8．
A．?(3)- ?(1) B．?(9)- ?(3) C．1[f(3)-f(1) D．1/3[?(9)- ?(3)] 9．
A．2x+1 B．2xy+1
2
C．x+1
2
D．x
10．设事件A，B的P(B)=0．5，P(AB)=0．4，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A | B)=（ ）． A．O．1 B．0．2 C．0．8 D．0．9
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上． 11．
k
12．当x→0时，1-cos戈与x是同阶无穷小量，则k= __________． 13．设y=in(x+cosx)，则yˊ __________． 14． 15．
16．设?(x)的导函数是sin 2x，则?(x)的全体原函数是 __________． 17．
18．曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为 __________． 19．20．
三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．
21．22．24．
23．
25．(本题满分8分)一枚5分硬币，连续抛掷3次，求“至少有1次国徽向上”的概率．
2
26．(本题满分10分)在抛物线y=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形，其一边在x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少?
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27．(本题满分10分)设z=z(x，y)由方程ez-x+y+x+z=0确定，求出．
28．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S，并求 此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy．
2
2
参考答案及解析
一、选择题 1．【答案】应选C．
【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．
比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项．本题即为计算： 由于其比的极限为常数2，所以选项C正确．
请考生注意：由于分母为x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x，否则将导致错误的结论．
与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶”．例如：当x→0时，x-In(1+x)是x的 A．1/2阶的无穷小量 B．等价无穷小量 C．2阶的无穷小量 D．3阶的无穷小量
要使上式的极限存在，则必须有k-2=0，即k=2．
所以，当x→0时，x-in(1坝)为x的2阶无穷小量，选C． 2．【答案】应选D．
【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算． 本题的解法有两种：
解法1先用换元法求出?(x)的表达式，再求导．
2
设sinx=u，则?(x)=u，所以?ˊ(u)=2u，即?ˊ(x)=2x，选D．
解法2将?(sinx)作为?(x)，u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成?ˊ(x)的形式． 等式两边对x求导得
?ˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx，?ˊ(sin x)=2sinx． 用x换sin x，得?ˊ(x)=2x，所以选D．
请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的．熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩．为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：
32
(2004年)设函数? (cosx)=1+cosx，求?ˊ(x)．(答案为3x) 3．【答案】应选C．
【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例， 例如：
y=|x|在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除A和D． 3
y=x，x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B，所以命题C是正确的． 4．【答案】应选A．
【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A，也可以直接求微分得到dy． 5．【答案】应选D． 【解析】本题需先求出函数的驻点，再用y″来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，
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则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项．
x
因为yˊ=e-1，令yˊ=0，得x=0．
x
又y″=e>0，x∈(-1，1)，且y″|x=0=1>0，所以x=0为极小值点，故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈(-1，1)时，函数有增有减，所以应选D． 6．【答案】应选B．
【解析】用换元法将F(-x)与F(x)联系起来，再确定选项． 7．【答案】应选B．
【提示】根据极值的第二充分条件确定选项． 8．【答案】应选D．
【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题可以直接换元或用凑微分法． 9．【答案】应选B．
【解析】用二元函数求偏导公式计算即可． 10．【答案】应选C．
【解析】利用条件概率公式计算即可． 二、填空题
-2
11．【答案】应填e.
-2
【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件，可知k=e． 12．【答案】应填2．
【解析】根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定k值． 13．
【解析】用复合函数求导公式计算． 14．【答案】应填6． 15．
【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导． 将等式两边对x求导(此时y=y(x))，得 16．
【解析】 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念． 17．
18．【答案】应填x+y-e=0．
【解析】 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程． 19．【答案】 应填2π．
【提示】 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质． 20．
x2y
【提示】 将函数z写成z=e·e，则很容易求得结果． 三、解答题 21．本题考查的是【解析】含变上限的
型不定式极限的概念及相关性质． 型不定式极限直接用洛必达法则求解．
22．本题考查的知识点是复合函数的求导计算． 【解析】 利用复合函数的求导公式计算．
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23．本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法．
【解析】 本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分． 另外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分． 解法1
解法2三角代换去根号．
24．本题考查的知识点是反常积分的计算． 【解析】 配方后用积分公式计算．
25．本题考查的知识点是古典概型的概率计算．
26．本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法．
【解析】 本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值． 解如图2-7-1所示，设A点坐标为(x0，y0)，则AD=2-x0，矩形面积 27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．
z22
利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=e-x+y+x+z，
然后将等式两边分别对x，y，z求导．考生一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量． 解法1直接求导法． 等式两边对x求导得 解法2公式法． 解法3微分法． 对等式两边求微分得
三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握．建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法．
28．本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法． 【解析】 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对x积分还是对)，积分．选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出．本题如果选择对x积分，则有 这显然要比对y积分麻烦．
在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．历年的试题均是绕x轴旋转，而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积．
旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是： 解 画出平面图形，如图2-7-2所示的阴影部分，则有阴影部分的面积
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成人高考~高等数学模拟试题~和答案内容解析
