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成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析(一)
一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.
1.当x→0时,x2
是x-1n(1+x)的( ). A.较高阶的无穷小量 B.等价无穷小量
C.同阶但不等价的无穷小量 D.较低阶的无穷小量
2.设函数?(sinx)=sin2
x,则?ˊ(x)等于( ). A.2cos x
B.-2sin xcosx C.% D.2x
3.以下结论正确的是( ).
A.函数?(x)的导数不存在的点,一定不是?(x)的极值点 B.若x0为函数?(x)的驻点,则x0必为?(x)的极值点
C.若函数?(x)在点x0处有极值,且?ˊ(x0)存在,则必有?ˊ(x0)=0 D.若函数?(x)在点x0处连续,则?ˊ(x0)一定存在 4.
A. B.
C.exdx D.exIn xdx
5.函数y=ex-x在区间(-1,1)内( ). A.单调减少 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减 6.
A.F(x) B.-F(x) C.0 D.2F(x)
7.设y=?(x)二阶可导,且?ˊ(1)=0,?″(1)>0,则必有( ). A.?(1)=0
B.?(1)是极小值 C.?(1)是极大值 D.点(1,?(1))是拐点
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8.
A.?(3)- ?(1) B.?(9)- ?(3) C.1[f(3)-f(1) D.1/3[?(9)- ?(3)] 9.
A.2x+1 B.2xy+1
2
C.x+1
2
D.x
10.设事件A,B的P(B)=0.5,P(AB)=0.4,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率P(A | B)=( ). A.O.1 B.0.2 C.0.8 D.0.9
二、填空题:11~20小题,每小题4分,共40分.把答案填在题中横线上. 11.
k
12.当x→0时,1-cos戈与x是同阶无穷小量,则k= __________. 13.设y=in(x+cosx),则yˊ __________. 14. 15.
16.设?(x)的导函数是sin 2x,则?(x)的全体原函数是 __________. 17.
18.曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为 __________. 19.20.
三、解答题:21~28小题,共70分.解答应写出推理、演算步骤.
21.22.24.
23.
25.(本题满分8分)一枚5分硬币,连续抛掷3次,求“至少有1次国徽向上”的概率.
2
26.(本题满分10分)在抛物线y=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形,其一边在x=2 上,另外两个顶点在抛物线上,求此矩形面积最大时的长和宽,最大面积是多少?
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27.(本题满分10分)设z=z(x,y)由方程ez-x+y+x+z=0确定,求出.
28.(本题满分10分)求由曲线y=x,y=lnx及y=0,y=1围成的平面图形的面积S,并求 此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.
2
2
参考答案及解析
一、选择题 1.【答案】应选C.
【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较.
比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限,从而确定正确的选项.本题即为计算: 由于其比的极限为常数2,所以选项C正确.
请考生注意:由于分母为x-ln(1+x),所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x,否则将导致错误的结论.
与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为:确定一个无穷小量的“阶”.例如:当x→0时,x-In(1+x)是x的 A.1/2阶的无穷小量 B.等价无穷小量 C.2阶的无穷小量 D.3阶的无穷小量
要使上式的极限存在,则必须有k-2=0,即k=2.
所以,当x→0时,x-in(1坝)为x的2阶无穷小量,选C. 2.【答案】应选D.
【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算. 本题的解法有两种:
解法1先用换元法求出?(x)的表达式,再求导.
2
设sinx=u,则?(x)=u,所以?ˊ(u)=2u,即?ˊ(x)=2x,选D.
解法2将?(sinx)作为?(x),u=sinx的复合函数直接求导,再用换元法写成?ˊ(x)的形式. 等式两边对x求导得
?ˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx,?ˊ(sin x)=2sinx. 用x换sin x,得?ˊ(x)=2x,所以选D.
请考生注意:这类题是基本题型之一,也是历年考试中经常出现的.熟练地掌握基本概念及解题的基本方法,必能较大幅度地提高考生的成绩.为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握,特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下:
32
(2004年)设函数? (cosx)=1+cosx,求?ˊ(x).(答案为3x) 3.【答案】应选C.
【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念,驻点与极值点等概念的相互关系,熟练地掌握这些概念是非常重要的.要否定一个命题的最佳方法是举一个反例, 例如:
y=|x|在x=0处有极小值且连续,但在x=0处不可导,排除A和D. 3
y=x,x=0是它的驻点,但x=0不是它的极值点,排除B,所以命题C是正确的. 4.【答案】应选A.
【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A,也可以直接求微分得到dy. 5.【答案】应选D. 【解析】本题需先求出函数的驻点,再用y″来判定是极大值点还是极小值点,若是极值点,
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则在极值点两侧的yˊ必异号,从而进一步确定选项.
x
因为yˊ=e-1,令yˊ=0,得x=0.
x
又y″=e>0,x∈(-1,1),且y″|x=0=1>0,所以x=0为极小值点,故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增,则当x∈(-1,1)时,函数有增有减,所以应选D. 6.【答案】应选B.
【解析】用换元法将F(-x)与F(x)联系起来,再确定选项. 7.【答案】应选B.
【提示】根据极值的第二充分条件确定选项. 8.【答案】应选D.
【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法.本题可以直接换元或用凑微分法. 9.【答案】应选B.
【解析】用二元函数求偏导公式计算即可. 10.【答案】应选C.
【解析】利用条件概率公式计算即可. 二、填空题
-2
11.【答案】应填e.
-2
【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件,可知k=e. 12.【答案】应填2.
【解析】根据同阶无穷小量的概念,并利用洛必达法则确定k值. 13.
【解析】用复合函数求导公式计算. 14.【答案】应填6. 15.
【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导. 将等式两边对x求导(此时y=y(x)),得 16.
【解析】 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念. 17.
18.【答案】应填x+y-e=0.
【解析】 先求切线斜率,再由切线与法线互相垂直求出法线斜率,从而得到法线方程. 19.【答案】 应填2π.
【提示】 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质. 20.
x2y
【提示】 将函数z写成z=e·e,则很容易求得结果. 三、解答题 21.本题考查的是【解析】含变上限的
型不定式极限的概念及相关性质. 型不定式极限直接用洛必达法则求解.
22.本题考查的知识点是复合函数的求导计算. 【解析】 利用复合函数的求导公式计算.
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23.本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法.
【解析】 本题被积函数的分子为二项之差,一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分. 另外由于被积函数中含有根式,所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分. 解法1
解法2三角代换去根号.
24.本题考查的知识点是反常积分的计算. 【解析】 配方后用积分公式计算.
25.本题考查的知识点是古典概型的概率计算.
26.本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法.
【解析】 本题的关键是正确列出函数的关系式,再求其最大值. 解如图2-7-1所示,设A点坐标为(x0,y0),则AD=2-x0,矩形面积 27.本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法.
z22
利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x,y,z)=e-x+y+x+z,
然后将等式两边分别对x,y,z求导.考生一定要注意:对x求导时,y,z均视为常数,而对y或z求导时,另外两个变量同样也视为常数.也即用公式法时,辅助函数F(x,y,z)中的三个变量均视为自变量. 解法1直接求导法. 等式两边对x求导得 解法2公式法. 解法3微分法. 对等式两边求微分得
三种解法各有优劣,但公式法更容易理解和掌握.建议考生根据自己的熟悉程度,牢记一种方法.
28.本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法. 【解析】 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形,然后根据此图形的特点选择对x积分还是对),积分.选择的原则是:使得积分计算尽可能简单或容易算出.本题如果选择对x积分,则有 这显然要比对y积分麻烦.
在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转.历年的试题均是绕x轴旋转,而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积.
旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是: 解 画出平面图形,如图2-7-2所示的阴影部分,则有阴影部分的面积
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成人高考~高等数学模拟试题~和答案内容解析
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