2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版(I)
【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法；
2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域．
【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法 【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用
【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及
注意点．
【教学过程】
第一课时
〖例1〗已知函数f(x)?2?log3x（1?x?9），求函数g(x)?[f(x)]2?f(x2)的最值． 错解：令t?log3x?[0,2]，则
g(x)?[f(x)]2?f(x2)?(2?log3x)2?(2?log3x2)?(2?t)2?2?2t?(t?3)2?3
∴当t?0时，g(x)min?6；当t?2时，g(x)max?g(x)|t?2?22．
错因分析：当t?2时，x?9，g(9)?[f(9)]2?f(81)无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件．
?1?x?9正解：由?，得g(x)的定义域为[1,3]，t?log3x?[0,1]，则 21?x?9?g(x)?[f(x)]2?f(x2)?(2?log3x)2?(2?log3x2)?(2?t)2?2?2t?(t?3)2?3
∴当t?0时，g(x)min?6；当t?1时，g(x)max?g(x)|t?2?13． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；
2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略；
3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)?af2(x)?bf(x)?c的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用．
〖例2〗 求下列函数的值域：
2x?1?1⑴ y?x；
2?12x?1?12(2x?1)?11法一：（直接法）y?x ??2?xx2?12?12?1由2x?0，2x?1?1，0?1?1，故1?y?2，即原函数的值域为(1,2) 2x?1y?12x?1?1?0，法二：（逆求法）由y?x得2x?故1?y?2，即原函数的值域为(1,2) 2?y2?1★ 点评：1．对于一些简单的函数可直接利用直接法求解即可；
2．若原函数中有某一元素的范围易确定，则常用“逆求法”来求值域，即用y来表示该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域．
⑵ y?2x?41?x；
法一：（换元法）令t?1?x?0，则x?1?t2，故
y?2(1?t2)?4t??2t2?4t?2??2(t?1)2?4
当t?0时，ymax?2；当t???时，y???，无最小值 ∴原函数的值域为(??,2]
法二：由1?x?0得原函数的定义域为(??,1]，易知函数y1?2x和y2??41?x在(??,1]都为增函数，故原函数在(??,1]也为增函数，故y?y|x?1?2
∴原函数的值域为(??,2]
★ 点评：求函数的解析应优先考虑直接法和判断函数的单调性．
⑶ y?x?1?x2；
解：由1?x2?0得原函数的定义域为[?1,1]，设x?cos?,??[0,?]，则
这里可能只有极少学生会考虑到限制
y?cos??|sin?|?cos??sin??2sin(??)
4∵0????，?????的范围，可结合
后面去绝对值，强调限制?的范围的必要性．
34?4????4，?1?sin(???4)?2 2∴?2?y?1，即原函数的值域为[?2,1]
样可以避免一些不必要的讨论，如本题中的|sin?|去绝对值． ⑷ y?★ 点评：用三角换元时，在不改变x的范围的前提下，应尽可能缩小?的范围，这
2x
x2?x?12x得yx2?(y?2)x?y?0……⑴，则该方程有解 2x?x?1① 当y?0时，方程⑴可化为?2x?0，方程有解，符合题意
解：由y?② 当y?0时，要使方程⑴有解，当且仅当??(y?2)2?4y2?0，解得?2?y?且y?0
综上所述，?2?y?2，322，即原函数的值域为[?2,]． 332x2?x?1⑸ y?(x?1)
x?1解：令t?x?1?0，则x?t?1，故
2(t?1)?(t?1)?12t?3t?21??2(t?)?3?2?2?3?7
ttt1当且仅当t?且t?0，即t?1时取等号
t另一方面，当t???时，y???，故原函数无最大值 y?∴原函数的值域为[7,??)
★ 点评：当函数的定义域为R时才比较适用判别法．
【课堂小结】
1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；
2．本节课我们复习了函数值域（最值）的几种较为常见的方法 ⑴ 直接法：一些简单的函数可利用该法求解；
221．思考：该题为什么不采用判别式法？
若用判别式法，则所方程
2x2?(y?1)x?1?y?0应是在(1,??)上有解，情况较为复杂
2．该法采用了换元法，这要比拼凑法和待定系数法更容易让学生接受．
⑵ 配方法：求“二次函数类”值域的基本方法，该法常与换元法结合使用；
⑶ 换元法：包括代数换元和三角换元，运用换元法解题时，一定要注意元的取值范
围．换元法很多时候可以很大程度的简化解题过程，如例2⑸；
⑷ 逆求法：若原函数中有某一元素的范围易确定，用y来表示该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域；
⑸ 不等式法：利用均值不等式求最值时，一定要注意“正、定、等”三个条件缺一
不可；
⑹ 判别式法：该法只有当定义域为R时才比较适用； ⑺ 利用函数的单调性（注意导数的应用）；
具体解题中应优先考虑直接法或判断函数的单调性．
【教后反思】
第二课时
〖例3〗 求下列函数的值域 ⑴ y?|x?1|?(x?2)2 解：y?|x?1|?|x?2|表示数轴上点x到?1与2的距离之和，故y?3，即原函数的值域为[3,??)． ⑵ y?|x?3|?|x?1|
解：y?|x?3|?|x?1|表示数轴上点x到3的距离与点x到?1的距离的差，故
?4?y?4，即原函数的值域为[?4,4]．
⑶ y?x2?4?(x?1)2?9 解：y?(x?02)?(0?22)?x2(?2)两定点1?)表?(示0动3点)(x,0到
ymin?|AB|?26，当x??时，A(0,、2B)??(的距离之和，由图象分析知：1y???，故原函数的值域为[26,??)．
★ 点评：利用函数的几何意义，是解决这类特殊函数的较为简便的方法．
〖例4〗 实数x,y满足(x?2)2?y2?3，求以下各式的最值： ⑴
yy； ⑵ x?y； ⑶ xx?1解：因实数x,y满足(x?2)2?y2?3，故圆(x?2)2?y2?3可看作点(x,y)的可行域．
y
，即y?kx，k表示目标函数中的斜率，由图可知?3?k?3，即x
yy()max?3，()min??3． xx⑵ 令m?x?y，即y??x?m，m表示目标函数中的纵截距．
⑴令k?由d?|2?m|2?3，解得m?2?6，故(x?y)min?2?6,(x?y)max?2?6．
⑶ 令k?由d?y，即y?k( x?1)，目标函数过定点(?1,0)，k表示目标函数中的斜率，x?1?3得k??|3t|t2?12y2y2，故( )max?,()min??2x?12x?12★点评：用线性归划的观点解决该类函数的关键在于抓住可行域，并弄清所求的东西在目标函数中表示什么．
1?sinx的值域．
2?cosxsinx?(?1)解：y?，表示动点P(cosx,sinx)与定点A(?2,?1)连线的斜率，而动点Pcosx?(?2)变式：求函数y?的轨迹为单位圆，由图象分析知：0?y?
【课堂小结】
在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数单调法和均值不等式，然后才考虑用其它各种特殊方法．
【教后反思】
44，即原函数的值域为[0,]． 33
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