二元一次方程组典型例题
【例1】 已知方程组
的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.
【思考与分析】 本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.
（１） 由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.
（２） 把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.
（３） 将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.
把代入①，得，解得 k=-4.
解法二： ①×3－②×２，得 17y=k-22，
解法三： ①+②，得 5x-y=2k+11. 又由5x-y=3，得 2k+11=3，解得 k=-4.
【小结】 解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想
到的话，那就应该用巧妙解
二元一次方程组能力提升讲义
知识提要
1． 二元一次方程组??a1x?b1y?c1的解的情况有以下三种：
?a2x?b2y?c2① 当
a1b1c1??时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） a2b2c2a1b1c1??时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） a2b2c2a1b1?（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2② 当
③ 当
c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ? （这个解可用加减消元法求得） ?y?c2a1?c1a2?a1b2?a2b1?2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解
含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 例题
例1. 选择一组a,c值使方程组?解
?5x?y?7 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的
?ax?2y?c【例2】 解方程组
【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.
解：由①，得 y=4－mx， ③ 把③代入②，得 2x+5（4－mx）=8， 解得 （2－5m）x=-12，当2－5m＝0， 即m＝
时，方程无解，则原方程组无解.
当2－5m≠0，即m≠ 将 故当m≠
时，方程解为
代入③，得时，
原方程组的解为
例3. a取什么值时，方程组?
?x?y?a 的解是正数？
?5x?3y?31例4. m取何整数值时，方程组?
?2x?my?4的解x和y都是整数？
?x?4y?1二元一次方程组的特殊解法
1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。 2、灵活消元 （1）整体代入法
?y?1x?2??1. 解方程组?43
??2x?3y?1
（2）先消常数法
4x?3y?3?2. 解方程组?3x?2y?15?
（3）设参代入法
?1?
?2?x?3y?2?3. 解方程组?x:y?4:3?
（4）换元法
?1? ?2??x?yx?y??6?4. 解方程组?2 3?3?x?y??4?x?y??
（5）简化系数法
4x?3y?3?5. 解方程组?3x?4y?4?
?1? ?2?课堂练习
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
?x?2y?3?2x?y?3?3x?5y?1① ? ②? ③?
3x?6y?94x?2y?33x?5y?1???2． a取哪些正整数值，方程组?
3． 要使方程组??x?2y?5?a的解x和y都是正整数？
?3x?4y?2a?x?ky?k的解都是整数， k应取哪些整数值？
?x?2y?1
二元一次方程组应用探索
【知识链接】
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表
二元一次方程组竞赛题集（答案+解析）
