损失和风险
(Utility,Loss and Risk)
本章重要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184
§3—1 效用的定义和公理体系
一、引言
·为什么要引入效用
决定计划问题的特点：天然状况不肯定——以概率表示； 后果价值待定： 以效费用量。
1.无形后果，非数字量(如信用、威望、出门带伞问题的后果)需以数值度量； 2.即使是数值量(例如泉币)表示的后果，其价值仍有待肯定，后果的价值因人而异。 例一：同是100元钱，对穷汉和百万财主的价值绝然不合；对同一小我，身无分文时的100元，与已有10000元再增长100元的感化不合，这是钱的边沿价值问题。 例二：
1礼品1000元00.5抽奖0.5
上图作为贸易、经营中实际问题的数学模型有广泛意义 有人认为打赌不如礼品,即
2500元
00.51000元 优于0.5
2500元
*由上面两个例子可知：在进行决定计划分析时，存在若何描述(表达)后果的实际价值，以便反应决定计划的人偏好次序(preference order)的问题
*偏好次序是决定计划人的个性与价值不雅的反应，与决定计划人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和心理(身材)状况有关。
* 除风险偏好之外，还时光偏好。 i, 扣头率 ii,其他 而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).
Daniel Bernoulli 在1738年指出：
若一小我面对从给定行动集(风险性瞻望集)中作选择的决定计划问题，假如他知道与给定行动有关的将来的天然状况，且这些状况出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各类可能后果的偏好的期望值最高的行动。
二、效用的定义 1.符号 i,A A
B(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed) A to B) B(即ARB) A不劣于B
A～B(即AIB) A无差别于B (Indifference) ii, 瞻望(prospect): 可能的前景 即各类后果及后果出现概率的组合
P=(p1,c1;…;pi,ci;…pn,cn ) 既推敲各类后果 (consequence)
又推敲了各类后果的概率(probability or likelihood)分布 所有P的集合记作p iii,抽奖(lottery)与肯定当量
p1.0C2C11-pC3
若 C1 ? ( p,C2 ; (1?p),C3 )
则称 肯定性后果C1 为抽奖 ( p,C2 ; (1?p),C3 ) 切实其实定当量 2.效用的定义(A)
在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系一致，即: 若 p1,p2?p , p1 则称u为效用函数
三、效用存在性公理 理性行动公理 Von Neumann-Morenstern, 1994 [169] ·公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性 p1,p2?p, 则 p1p2 or p1?p2 or p2p1
p2 iff u(p1)≥u(p2)
·公理2 传递性 (Transitivity) p1,p2,p3?p, 若p1p2,p2p3 则 p1p3
·公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变) 若p1,p2,p3?p, p1p2 且 0 ? ? ? 1
则 对任何p3∈p ,必有 ?p1+(1-?)p3
?p2+(1-?)p3
或者表杀青：p1p2,??? 则 ?p1+(1-?)p2 ?p1+(1-?)p2
即二种后果中，决定计划人所偏好的后果出现机会较大年夜的情况是决定计划人所爱好的。
·公理4 持续性公理 ---- 偏好的有界性 若 p1p2p3 则 存在 0???1, 0???1, ???
使 ?p1+(1-?)p3 由 ?p1+(1-?)p3 由 p2
p2 ?p1+(1-?)p3
p2 可知 p3 不是无穷劣,即 u(p3)???
?p1+(1-?)p3 可知 p1 不是无穷优, 即 u(p1)? ?
p3即使是逝世亡，亦不至于无穷劣
例：i,过马路
1无法到目的地不过死亡10?7过
若逝世亡为无穷劣，则不克不及过马路 ii,狂犬病疫苗
1注射到目的地
20元死亡10不注射?6
生存
上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然. 例：Allais 悖论（Paradox 〕
例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论威望Svage答复 Ai.1.0$500,000$500,000.89ii..01$0$500,000.1$2,500,000Bi..11.89$0$2,500,000.1ii..9$0
Savage的答复是A组宁择i， B组宁择ii，
Allais指出：B组的i, ii, 均以0.89的$500,000 代替0.89的 $0，即与A组的i,ii,相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。 Savage当时语塞。 ·效用的公理化定义
在上述公理体系中，若p上存在实值函数u，使 i, pi ? pj 当且仅当 u(pi) ＞u(pj) ii. u(α, pi ; 1-α, pj)= αu(pi) +(1-α)u(pj)
损失和风险
