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随机过程习题解答
第一章习题解答
1．
设随机变量X服从几何分布，即：P(X?k)?pq?k,k?0,1,2,。求
X的特征函数，EX及DX。其中0?p?1,q?1?p是已知参数。 解
fX(t)?E(ejtx)?jtkkepq ?k?0?=
又
?k?p?(qejt)k?k?0p
1?qejtqqE(X)??kpq?p?kq?p2?
ppk?0k?0k?n?n?n （其中 ?nx??(n?1)x??x）
n?0n?0n?0令 S(x)??(n?1)x
nn?0?则 ?0xS(t)dt???(n?1)tdt?nk?00?2k?k?k?0k?0?x?xn?1?n?0k?k?0?x
1?x同理 ?k?x??(k?1)x?2?kx??xk
k?02令S(x)??(k?1)k?0xk 则
2k?S(t)dt??(k?1)0k?0x?tdt??(k?1)xk?0?k?1??kxkk?1?）
2、（1） 求参数为(p,b)的?分布的特征函数，其概率密度函数为
（2） （3）
其期望和方差；
证明对具有相同的参数的b的?分布，关于参数p具有可加性。
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解 （1）设X服从?(p,b)分布，则 （2）?E(X)?1fj'X(0)?p b（4）
若Xi?(pi,b) i?1,2 则
bPi?f(t)?()同理可得：?Xi b?jt3、设Z?lnF(X),并求E(Zk
)(k是常数）。X是一随机变量，F(x)是其分布函
数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）Y?aF(X)?b,(a?0,b是常数)； （2）Z?lnF(X),并求E(Z解
（
1
k)(k是常数）。
）
P{F(x)?y}?P{x?F?1(y)}?F[F?1(y)]?y
（0?y?1） ?
?0?F(y)??y?1?y?00?y?1 y?1 ?F(x)在区间[0，1]上服从均匀分布
jtxe1jtjtx1(e?1) 0??F(x)的特征函数为fX(t)??edx?jtjt01（2）
fZ(t)?E(ejtz)?E[ejtlnF(x)]
1jtlnye?1dy =?01 =?ydy?1?jt
0jt14、设X，X，12Xn相互独立，且有相同的几何分布，试求?Xkk?1n的分
布。
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西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
