《概率论与数理统计》期末试题一
一、
填空题（每小题4分，共40分）
1、 设A与B为互不相容的两个事件，P(B)?0，则P(A|B)? 0 。
2、 事件A与B相互独立，P(A)?0.4,P(A?B)?0.7, 则 P(B)? 0.5 。
3、 设离散型随机变量X的分布函数为
0 x??1
F(x)? a ?1?x?1
2?a 1?x?2 315 ,b? 。 66 a?b x?2
且P(X?2)?1 ，则a2?
4、 某人投篮命中率为
5、 设随机变量X与Y相互独立，X服从“0-1”分布，p?0.4；Y服从??2的泊松分布
?(2)，则E(X?Y)?____2.4_______,D(X?Y)?____2.24_______.
44，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___________。 5625
6、 已知D(X)?16,D(Y)?9,?XY?
7、 设总体X服从正态分布N(0,?量
22X1?X222X3?X41, 则D(X?2Y)?___36___. 32),从总体中抽取样本X1,X2,X3,X4,则统计
服从_______F(2,2)______________分布。
8、 设总体X服从正态分布N(?,1),其中?为未知参数，从总体X中抽取容量为
16的样本，样本均值X?5,则总体均值?的95%的置信区间为____（4.51，5.49）____。（u0.975
1
?1.96）
9、 若X~N(?1,?12),Y~N(?2,?22)，且X与
22______N(?1??2,?1??2)______分布。
Y相互独立，则Z?X?Y服从
二、 计算题（每小题10分，共60分）
1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽
样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。
1C1C3解： （1）一只是正品一只是次品的概率为：622?…………………
7C8 （2）第二次才取得次品的概率为：
6?23＝……………………… 8?714 （3）令A1表示“第一次取出的是正品” ，A2表示“第一次取出的是次品” B表示“第二次取出的是次品”
第二次取出的是次品的概率为：
P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?26121???? 78784 ……………………………
2、 （10分）设随机变量X的概率密度
f(x)? Ax?1 0?x?2 0 其它
求：（1）A的值；（2）X的分布函数F(x)；（3）P{1.5?x?2.5}. 解：（1）由
21(Ax?1)dx?1?A??可得，……………… f(x)dx?1?0???2?? 所以，
f(x)? ?1x?1 0?x?2 2 0 其它
2
（2）F(x)? 0， x?0
12x?x， 0?x?2 …………………. 4 1 x?2
?
（3）P{1.5?x?2.5}?
3、 （10分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为
0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X和Y的联合分布律；（2）X和Y的边缘分布律。 解：（1）X和Y的联合分布律为：
m2?mn2?nP(X?m,Y?n)?CmCn?2(0.2)(0.8)2(0.5)(0.5)11(?x?1)dx? ………………….. ?1.521621mnC2C2?4(1?m) 25m,n分别为0,1,2。 …………………………………
（2）X和Y的边缘分布律。
由于X与Y相互独立，所以X和Y的边缘分布律分别为：
m2?m P(X?m)?Cm ，m?0,1,2。2(0.2)(0.8)n2?n…………… P(Y?n)?Cn(0.5)(0.5)，n?0,1,2。2 ……………………….
4、 （10分）设总体X的概率密度为
f(x)??x??1, 0?x?1
0， 其它
（1） 求?的最大似然估计量；（2）求?的矩估计量。
解：（1）似然函数为：L(x1,x2,...,xn;?)???xii?1n??1??(?xi)??1,0?xi?1
ni?1n ……………………………
取对数为：lnL?nln??(??1)?lnxi?1ni……………………….
dlnLnn?0得，??lnxi?0???? 由
d??i?1n?lnxi?1n
i …………………………
3
??? 则?的最大似然估计量为：?n?lnXi?1n。………
i （2）EX??10x?x??1dx?? ……………………………… ??1?? 由EX?X得，?的矩估计量为：?
X…………… 1?X5、 （10分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082)，现测得9炉铁水
的平均含碳量为4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（??0.05）？（注：u0.95?1.645,u0.975?1.96,
t0.975(8)?2.3060,t0.95(8)?1.8595）
解： H0:??4.55, H1:??4.55………………… 在原假设成立的条件下，
已知??0.05, 则 uX?4.550.108/n~N(0,1)………………
1??2?1.96，由n?9得拒绝域为：
{|X?4.55|?1.96}……………………………
0.108/3X?4.5511|??1.83?1.96………………
0.108/36 当X?4.484时，| 所以拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55。
1、设A与B为互斥事件，P(B)?0，则P(A|B)? 0 8、已知总体X~N(?,?)，?,?均未知，现从总体X中抽取样本X1,X2,???,Xn,则
22???X；?的矩估计量??的矩估计量?22k1n??xk?x。 nk?1??10、设随机变量 X~B(n,p) 且 EX?2.4，DX?1.44，则
n? 6 ， p? 0.4 。
4
1、（10分）一人从外地到北京来参加一个会议，他乘火车的概率为
3， 乘飞机的概率为 5211 ，如果乘火车来，迟到的概率为 ， 乘飞机来，迟到的概率为 ， 求： 546（1）此人迟到的概率； （2）如果他迟到了，那么他是乘飞机来的概率为多大？ 解：设C=“此人迟到”，A=“乘火车”，B=“乘飞机” 则P?A??3211，P?B??，P?CA??，P?CB?? 5546312113???? 54566021?P?B?P?CB?4（2）由贝叶斯公式：P?BC???56?
13P?A?P?CA??P?B?P?CB?1360（1）由全概率公式：P?C??P?A?PCA?P?B?PCB?????2、（10分）某汽车总站每隔3分钟发一趟车，乘客在3分钟内的任一时刻到达是等可能的，若以X 表示乘客的候车时间， 求：（1）乘客候车时间X的概率分布。 （2）乘客候车时间不超过2分钟的概率。
?1?,0?x?3解：（1）f(x)??3
??0,其它（2）P(X?2)?
6、（10分）为了比较甲、乙两件品牌灯泡的寿命，随机抽取了10只甲种灯泡和8只乙种灯
泡，测得平均寿命分别为 x甲 =1400（小时）和x乙 =1250（小时），样本标准差分别为 ，设两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相s甲=52（小时） 和 s乙=64（小时）等，试计算两种灯泡的平均寿命之差
?2012dx? 33?甲??乙 的 9500 置信区间。
（注： t0.975(16)?2.1199, t0.95(16)?1.7459） 解：因为两种灯泡的寿命分别服从正态分布，且方差相等
采用T统计量，T?X1?X2???1??2?Sw11?n1n2~t?n1?n2?2?
又知 x甲 =1400 x乙 =1250，s甲=52，s乙=64
n1?10,n2?8，??0.05，t0.975(16)?2.1199
5
概率论与数理统计试卷合集附答案-概率论与数理统计试卷一
