(x?3)n例（1）（3） (90.5) 求级数?的收敛域. 2nn?1?tn解 令t?x?3，级数?2,由
n?1n?an?1n2lim?lim?1知Rt?1,因此当n??an??(n?1)2n?1?x?3?1即2?x?4时原级数收敛.
?(?1)n当x?2时,原级数为?收敛, 2nn?1?1当x?4时,原级数为?2收敛.
n?1n所以原级数收敛域为[2,4].
(x?2)2n（2）(92.3) 级数?的收敛域为(0,4). nn?4n?1?
tn答 令t?(x?2) 对于?, nn?4n?12?an?1n?4n1由lim, ?lim?n??an??(n?1)?4n?14n于是收敛半径Rt?4,则0?(x?2)?4?0?x?4内收敛.
当x?0和x?4时,原级数都为为(0,4).
21发散,所以收敛域?n?1n?(2x?1)n例4求幂级数?的收敛半径与收敛域.
nn?1? 1
（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）
tn解 令t?2x?1,幂级数变形为?,
n?1n1anRt?limn?limn?1?lim?1?Rt?1n??an??n??n?11n?1n1?Rx?
211t?1?x????1?x?0，
22?1当x??1时原级数为?(?1)n收敛，
nn?1?11当x?0时，?发散，故 原级数收敛半径R?，
2n?1n收敛域为[?1,0).
?注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.
§7.5 泰勒公式与泰勒级数
教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor
级数与Taylor展式的关系.
重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的
推导方法.
难点: 理解泰勒公式的推导方法.
教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：
引例：近似表达函数的多项式的特性
无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数
引例：当x很小时，e?1?x，
2
x设f(x)?ex，P1(x)?1?x，则
f(0)?P1(0)?1,f?(0)?P1?(0)?1.
x2x2x用P2(x)?1?x＋表示 e?1?x＋在x?0处
22值更为接近.
猜想将P1(x)换成Pn(x)则在x?x0处两函数有直到n阶相同的导数，其在x?x0处接近的程度更高，即
x2e?1?x??2xxn?.为用多项式表示更复杂的函n!数：
设有函数f(x)在x?x0的某一邻域内有直到n?1阶的导数，
令f(x)?Pn(x)?a0?a1(x?x0)?若 f(k)(x0)?Pn(k)(x0),k?0,1,?an(x?x0)n，
再令 f(x)?Dn?1(I),x0?I?(a,b),
,n.
（f(0)(x0)?Pn(0)(x0)表示k?0的函数值相等）则 ak?1(k)f(x0) （k?0,1,,n），于是k!f(x)?Pn(x)?a0?a1(x?x0)??an(x?x0)n.
证明：因Pn(x)?a0?a1(x?x0)??an(x?x0)n,
Pn?(x)?a1?(x?x0)O(1),
Pn??(x)?2!a2?(x?x0)O(1)…… ,
Pn(k)(x)?k!ak?(x?x0)O(1) …… ,
Pn(n)(x)?n!an,
那么 f(k)(x0)?Pn(k)(x0)?k!ak,
1(k)f(x0), k! k?0,1,,n.
一、泰勒（Taylor）公式
所以 ak? 在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式
3
第五节 泰勒公式与泰勒级数讲稿 、第六节函数的间接展开(泰勒级数)2013-3-26(修改)分解
