2020年中考数学二轮复习压轴专题：
《三角形》
1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图① （1）求证：∠ACN＝∠AMC
（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：
（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？（写出探究过程）
解：（1）∵∠BAC＝45°，
∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM， ∵∠NCM＝135°， ∴∠ACN＝135°﹣∠ACM， ∴∠ACN＝∠AMC；
（2）过点N作NE⊥AC于E，
∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN， ∴△NEC≌△CDM（AAS）
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∴NE＝CD，CE＝DM；
∵S1＝AC?NE，S2＝AB?CD，
∴＝；
（3）当AC＝2BD时，对于满足条件的任意点N，AN＝CP始终成立， 理由如下：过点N作NE⊥AC于E，
由（2）可得NE＝CD，CE＝DM， ∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM， ∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM ∴AE＝BD+BP＝DP，
∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP， ∴△NEA≌△CDP（SAS） ∴AN＝PC．
2．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC． （Ⅰ）求C点的坐标；
（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．
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解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示： ∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠MAC＝∠OBA， 在△MAC和△OBA中，，
∴△MAC≌△OBA（AAS）， ∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4， ∴OM＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）， 故答案为（﹣6，﹣2）；
（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点， 则四边形OEDQ是矩形， ∴DE＝OQ，
∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°， ∴∠QPD＝∠OAP， 在△AOP和△PDQ中，，
∴△AOP≌△PDQ（AAS）， ∴AO＝PQ＝2，
∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；
（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT， ∴四边形OSFT是正方形，
∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG， ∴∠HFS＝∠GFT， 在△FSH和△FTG中，，
∴△FSH≌△FTG（AAS）， ∴GT＝HS，
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又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4）， ∴OT═OS＝4，
∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4， ∴﹣4﹣m＝n+4， ∴m+n＝﹣8．
3．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P （1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为 AE＝BD ． ②∠APC的度数为 60° ．
（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明
（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为 AE＝BD，AE⊥BD ．
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解：（1）观察猜想：①如图1，
设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形， ∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB， ∴∠ACE＝∠DCB， ∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE＝S△BCD， ∵∠AOC＝∠DOP， ∴∠DPO＝∠ACO＝60°， ∴∠APB＝120°， ∵S△ACE＝S△BCD，
∴×AE×CH＝×BD×CG， ∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD， ∴CP平分∠APB， ∴∠APC＝60°， 故答案为AE＝BD，60°．
（2）数学思考：：①成立，②不成立，
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2020年中考数学二轮复习压轴专题：三角形(解析版)
