（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程错误!未指定书签。m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．
显然x=1是该方程的一个根．
令g（x）=错误!未指定书签。m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=错误!未指定书签。．当m=1时，有g′（x）≥０恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．
当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=错误!未指定书签。，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．
所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→０时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，错误!未指定书签。）内也有一个解，即当
m＞1时，不合题意．
综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点．
[选修4-1：几何证明选讲] 22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2错误!未指定书签。，∠APB=30．°
（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．错误!未指定书签。
【考点】与圆有关的比例线段．
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【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60；再结合°OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；
（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出理求出DE，二者相加即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB ∴∠AB0=60；°∵∠ABC=∠AEC ∴∠AEC=60．°
（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=错误!未指定书签。，在RT△AHD中，HD=2，∴AD=错误!未指定书签。=错误!未指定书签。．∵BD?DC=AD?DE，∴DE=错误!未指定书签。．∴AE=DE+AD=错误!未指定书签。．错误!未指定书签。
[选修4-4：极坐标与参数方程] 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线方程为ρcos（θ﹣错误!未指定书签。）=a．
（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；
C的
AD，再结合相交弦定
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（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
a的值．
【分析】（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则错误!未指定书签。，利用同角三角函数的基本关系消去参数轨迹．
（Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线圆心到直线的距离等于半径，由此解得
a的值．
C与圆相切，故有
α可得直角坐标方程，从而得到点
A的
【解答】解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则错误!未指定书签。，利用同角三角函数的基本关系消去参数
α可得，
（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．
（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣错误!未指定书签。）=a化为直角坐标方程为错误!未指定书签。+错误!未指定书签。=2a，
由题意可得直线C与圆相切，故有错误!未指定书签。=3，解得a=3或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥２；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥１，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．
【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式
f（x）≥２的解集；
（2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数的单调性可得函数在
R上先减后增，
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得到函数的最小值为f（1）+|1﹣1|=f（1）=a﹣1，而不等式f（x）+|x﹣
1|≥１解集为R即a﹣1≥１恒成立，解之即可得到实数
a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2时，错误!未指定书签。，由于f（x）≥２，
则①当x＜1时，﹣2x+3≥２，∴x≤错误!未指定书签。；②当1≤x≤１时，1≥２，无解；
③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥错误!未指定书签。．
综上所述，不等式f（x）≥２的解集为：（﹣∞，错误!未指定书签。误!未指定书签。，+∞）；
（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则错误!未指定书签。，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，
只需a﹣1≥１，解得a≥２，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．
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2019年吉林单招理科数学模拟试题(一
