（2）Tr?exp?i??A?exp?i??B?? 其中A,B为实常数矢量，?为泡利矩阵。
????18．设J为角动量算符，J??Jx?iJy（取?=1）。证明
J?n???n （1）zJ??Jx????Jx?1???n?0,1,2?? （2）exp????i?Jx????Jx????exp?i?Jx??????Jxcos??Jysin?
19．定义算符
P??l?l?1???L2l?1 ,P??l?l???L2l?1 (??1) 证明：
P???j?l?1/2lljmj??ljmj
?0j?l?1/2 P???0j?l?1/2lljmj???ljmj?l?1/2
j其中j,m2j,l分别是总角动量J?及其z分量J?x和轨道角动量L?z的量子数。20．令P?12(1???n)，n为任意方向单位矢量。证明： P2?P。 21．令P?=
12(1??z) （1）证明：P?+P?=1
P2
2?=P?，P??P?， P?P??P?P??0 （2）在?x表象中，写出P?的矩阵形式。
（3）证明：P?a??a??a??0?????b???????0??? ，P????b???????b??? 22．定义 ??=?x?i?y
（1）计算 [??，??]，[?x，??] （2）证明 ?22?????0
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e??z??=??e??e?2?
z其中?为常数，?为泡利矩阵。
23．证明：(?1??2)2=3-2(?1??2)，并利用此结果求?1??2的本征值。
?2?+S?，继而求 ?=S24．证明：S?(3+?1??2)，其中S1222（1）?1??2的本征值； （2）证明：?1??2?1ms??1m
s?1??2?00=?3?00
225．令S12=3(?1?r)(?2?r)/r?(?1??2)（取?=1），其中r?r1?r2，证明
??r)2/r2?2S? S12=6(S2?算符计算出L?的共同表象中的矩阵形式（设l?1,三个基矢顺序为Y，?，在L?，L?，L26．试用L?z11yx2?的可能取值和相应的几率。 Y10，Y1?1）。若体系处在Lx=?的状态，求此时测量Lx27．设粒子处于
??c(x?y?2z)e??r
??0
所描述的状态，其中c是归一化常数。求
?的取值，L?的平均值及Lx=?与的几率； （1）Lxx?的可能取值及相应的几率。 （2）Lx28．已知电子的波函数为
?(r,?,?,sx)?R(r)Y10(?,?)?1/2
?的可测值及相应几率（取?=1）?，J求总角动量J。 z229．一个自旋为1。电荷为?e的粒子处于均匀磁场B=Bez中，其哈密顿量为
? ?????B=eB.S Hmc?的一个本征函数）。 t=0时自旋沿着x轴并等于?（即波函数为Sx（1）求t>0时波函数；
（2）从作为时间函数的sx和sy的期待值出发，说明自旋的进动并确定其频率。
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30．设两个电子沿z轴处于固定位置，体系哈密顿量为
??S??3s?=c（S?1x?s?2x） H12?的本征值及其简并度。 其中c为常数，求H31．两个距离固定为R的电子体系，其哈密顿量为
??c?(???)?(?1?R)(?2?R)? H12?R3?R2??其中c为常数，t=0时一个电子的自旋平行于R，而另一个反平行于R；一段时间后，二者的自旋均反转
（即与R平行的变为反平行，而反平行的变为平行的），试计算这一时间。
??BS?的本征值及本征函数，其中A，B为实常数。假定32．考虑自旋为1/2的系统，求出算符ASyX?得此系统正处在以上算符的一个本征态上，求测量Sy2?的几率。 2?，J?与J?的共同本征矢为|jm>，当j=1时 33．设体系总角动量算符为Jx?，J?的矩阵表示。 （1）在{|11>,|10>,|1-1>}为基矢的空间中求出Jx2?，J?的共同本征矢|1mx>x。 （2）求出Jx2（3）若体系处在|?>=
12（|11>+|1?1>）态上，求：
?与J?的可能取值与相应几率； （i）同时测量Jx2?得?时，体系处于什么状态上？ （ii）在|?>态上测量Jx?的平均值。 (iii)在|?>态上Jy?的分量满足对易关系[A?]=i?A?，A?，?34．算符A对角矩阵元中?3yxx已知Ax在自身表象中是对角矩阵，
各出现一次，?5/2各出现5次，?2各出现二次，?1各出现10次，?1/2 各出现20次，0出现25次。
问
?表征什么物理量？ （1）A?2?A?2x?A?2?A?2可取什么值？每个值重复次数是多少？ （2）Ayz（3）如何理解重复现象？
35．设电子在B=B0ez的磁场中运动，若将磁场方向突然转向（即B=B0ex），t=0时处在sz??/2态上，求t>0时测量sx??/2的几率。
37．自旋为1/2的粒子，处于阱宽为a的无限深势阱中。若t=0时处于
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?1??1?5 ?(x,s,0)??3(x)???i???2?5)(x)??i?? 2????态下，其中?n(x)?2n?sinx （n?1,2,3,?）求 aa（1）测量能量的取值几率；
（2）W(sz??/2,0)??它等于W(sz??/2,t?0)吗？为什么？ 38．证明
?|jm〉= （1）〈jmi|Szi1?|jm〉 〈jmi|Jzi2l?1 当 j?l?1/2时；
?|jm〉=? （2）〈jmi|Szi1?|jm〉 〈jmi|Jzi2l?1 当j?l?1/2时。 39．分别j?l?1/2，j?l?1/2两种情况，求
?|jm〉??S 〈jmi|2Li。
40．对于无相互作用的三个中子构成的体系，令?,?分别表示单个中子的自旋向上和向下本征态。
?的共同本征函数，并取?=1。 ?及z分量S|SMs〉表示该体系总自旋平方Sz2?的本征函数，并给出本征值。 ?，S （1）证明?(1)?(2)?(3)是Sz2（2）给出该体系的自旋空间的维数。 （3）求出该体系的全部|SMs〉的具体表示式。
41．自旋为1/2，磁矩为M??S（其中?为常数）的粒子，处于均匀外磁场B =B0ey中。设t=0时，粒子处于sz??/2的状态，求：
(1) t>0时刻的波函数|?(t)=？
?的平均值。 ?，S?，S(2) t>0时，Szyx 42．电子处于均匀外磁场B =B0ex中，电子的磁矩为 Ms??e?? 2mc其中?为泡利矩阵。设t=0时，电子的自旋沿z轴的正方向，t=t1?0时，电子的自旋沿y轴正方向。求：
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（1）当t〉t1时，电子至少需要多长时间，其自旋沿着y轴的正方向？ （2）当t=
eB?(??0)时，电子自旋方向沿着z轴正方向的几率。 ??2mc2?，J?的本征函数。p轨道波函数用u1(r)，u0(r)44．考虑一个处于p轨道的电子，写出总角动量Jx和u?1(r)表示，自旋波函数用?和?表示，其中?和?分别代表自旋向上和向下的态。
??S??S?，求S?的共同本征态。 ?2，S45．自旋为1（取?=1）的两个粒子，总自旋为S12z46．两个自旋为s的全同粒子体系，对称的与反对称的波函数各有几个？s=1/2与s=3/2的情况下，
对称与反对称的波函数各有几个？
47．质量为?，电荷为q，自旋为0的非相对论性粒子，在均匀磁场 B =??A中运动，求能量本征值。
48．一质量为?，电荷为q的粒子在方向相互垂直的均匀电场E和均匀磁场B中运动，求能量本征值和本征函数。
49．有一个定域电子（作为近似模型，可不考虑轨道运动），受到均匀磁场作用，磁场B指向正x方向，磁作用势为
??e?B? ??eBS Hxx?c2?c设t=0时电子的自旋“向上”，即sx?1?的平均值。 ，求t>0时S250．某个自旋?/2的体系，磁矩?????，t〈0时处于均匀磁场B0中，B0指向正z方向；t?0时再加一个旋转磁场B1(t)，其方向于z轴垂直，
B1(t)=B1cos2??te1?B1sin2??e2
其中?????B?/?。已知t?0时体系处于sz??/2的本征态?1/2，求t>0时体系的自旋波函数以及自旋反向所需时间。
第十一章 多体体系及多电子原子
（习题）
1。有三个全同粒子，每个粒子可有单态为6个，问： （1）若粒子为费米子，体系有几个可能状态？ （2）若粒子为波色子，体系有几个可能状态？
2．设有两个全同的自由粒子，均处于动量本征态（本征值为?k?，?k?），试分别对以下三种情况讨论它
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