第六章 表象理论 （习题）
1． 应用??函数的性质，证明傅立叶变化的两个定理：如果
1 f(x)?2?则
（1）g(k)??????g(k)eikxdx
12?2????f(x)e?ikxdx
? （2）
???g(k)dk????f(x)dx
22．试求“波包”函数?(x)的傅立叶变换F(k)。?(x)定义为
dd?ikx当-?x??ae ?(x)??22
?其它情形?03．e是由坐标x构成的算符，写出它在坐标、动量表象中的表示式。 4．求线谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
5．求在动量表象中线性谐振子能量本征函数。
6．求三维各向同性谐振子在动量表象中的能量本征值和本征函数。
7．设粒子在周期场V(x)?V0cosbx中运动，写出它在p表象中的薛定格方程。
8．一个电子被限制在一块电介质（无限大）平面的上方（x?0）运动，介质的介电常数为?，不可穿透。
?xe2(e?1)?0。按电象法可求出静电势能为V(x)??，其中?? 设在动量表象中求电子的能级（E?0）。
4(e?1)a?9．用动量表象计算粒子（能量E?0）对于?势垒V(x)?V0?(x)的透射几率。
10．粒子处于?势阱V(x)??V0?(x)（ V0?0）中。用动量表象中的薛定格方程求解其束缚态的能量本征值及相应的本征函数。
11．求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式，然后算出px。用在坐标表象中氢原子波函数算出x，验证测不准关系。
2p1???|n??E|n?，计算 ?2的本征方程为H?m?2x12．已知线谐振子哈密顿量Hn2m222?|n?； （1） ?m|x?|n?； （2） ?m|x
15
2
?|n?； （3） ?m|x?|n?。 （4） ?m|x43?表象中，求出 13．在Lz2 ?1(?)?c1sin? 2 ?2(?)?c2cos?
?为轨道角动量的z分量。 的矩阵形式。Lz?和L?的矩阵分别为 ?的共同表象中，算符L?和L14．设已知在Lyzx2
?010??0?i0?????101L?i0?i Lx? ， 。 y????2?2???010???0i0?
?的本征值和归一化本征函数，并将矩阵对角化。 ?和L求Lyx?，L?的共同本征函数15．设轨道角动量量子数l?1，试求L（答案要用球坐标r，?，? 作自变量）。 x2?，?和S16．有一物理体系，其三维空间由三个正交基|u1?，|u2?，|u3?来展开。现在考虑两个算符Lx它们的定义为
?|u1?=|u1?，L?|u2?=0，L?|u3?=?|u3?。 Lxxx?|u?=|u?，S?|u?=|u?，S?|u?=|u?。 S113223?，S?的矩阵。 ?，L?2，S是写出用基矢|u1?，|u2?，|u3?来表示的代表算符Lxx22217．设矩阵A，B，C满足A= B= C= I且BC?CB= iA。
2
（1）求证AB+BA=AC+CA=0；
（2）在A表象中，求出B与C的矩阵（设无退化）。
18．矩阵A与B满足A =0，AA+AA=I，B=AA。 （1）证明B=B；
（2）在B表象中求出A的矩阵表示。
22????，设它的三个分量??1，??2，??3的本征值都是?1，即19。为了统一描述中子和质子，引用同位旋算符? 15
??12=??22=??32=1且同时满足如下关系
?1??2+??2??1=0 ? ??2??3+??3??2=0
?1+??1??3=0 ??3?若??3的本征值-1对应中子的态，+1对应质子态，试在??3表象中，求
?1，??2，??3的矩阵表示； (1) ?(2)中子态和质子态的归一化本征矢。
20.满足下列条件的n维矩阵U称为SUn矩阵，即 UU=UU?=I，d e tU=I 试求SU2的一般表示式。
21．设任何一个厄米矩阵能被一个幺正矩阵对角化，由此证明，两个厄米矩阵能被同一个幺正矩阵对角化的充要条件是它们彼此对易。
22．证明若三个厄米矩阵A ，B ，C 有如下对易关系： AB=BA， AC=CA， BC?CB。 则A的本征值必有退化。
?? 和B?定23．在由正交归一基矢{|u1?，|u2?，|u3?}所张的三维态矢空间中考虑一物理体系，算符H义如下：
?100??100?????H=??0?10?， B?b?001?
?00?1??010??????是实常数。 式中?和B?和B?是否厄米算符； （1）H?和B?可对易； （2）证明H?和B?的共同本征矢。 （3）求H24．用狄拉克符号证明以下定理： （1）厄米算符的本征值为实数；
（2）非退化厄米算符的诸本征矢是相互正交的。
25．对于任何两个代表不同状态的态矢量|?>和|?>未归一化），试证明下列施瓦兹不等式 |??|??|??|?>。
15
2
26．从线性谐振子的基本对易关系
[a,a]=1 出发，证明 e?a?a?ae??aa?e??a
?其中?为参数。对于?>0的情况，计算
??a T(?)=Tre
?进而讨论算符aa的本征值谱。
27．一确定量子力学体系有一个二维希尔伯特空间的哈密顿量H描述。在此二维空间内引用正交归一基矢组|1>和|2>哈密顿矩阵是一个2?2矩阵 ????1|H|1??1|H|2?????2|H|1??2|H|2????3A4iA??? ??4iA?3A?其中A是实数。试求
（1）体系的能量本征值；
（2）体系的归一化能量本征态（用|1>和|2>表示）；
（3）现在考虑含时间薛定格方程的解，假定t=0时|?(0)??|2>，求t时刻体系处在态
1(|1>+i|2>) 2的几率；
(4) 在（3）的初始条件下，求体系的能量平均值。 28．证明矩阵的迹与表象的选择无关，即
?|u??u|Aiii????tjj?|t? |Aj29．证明
（1）d e t(AB)=d e tAd e tB;
（2）d e t(S?1AS)=d e tA;
（3）T r(AB)=T r(BA);
（4）T r(ABC)=T r(BCA)=T r(CAB); （5）T r(S30．已知
?1AS)=T rA
?27i3??? InA??70?5?
???i3?5?1??求A的行列式d e tA。
31．证明下列各题：
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?变换后，分别变为|??>，|??>。证明变换前后?为幺正算符|?>，|?>为两个任意态矢。经U （1）设Ujjii两矢量标积不变；
??e是幺正的； ?为厄米算符，证明T （2）设A?iA?，V?均为幺正算符，证明其积亦为幺正的。 （3）若U32．证明
（1）在幺正变换下，一个厄米矩阵仍变为厄米矩阵，一个幺正矩阵仍变为幺正矩阵，对称矩阵会怎样？ （2）
?|a?|?|?l|Aal2与基|l?，|a?的选取无关。
?100??在自身表象中的矩阵形式为A(A)=?000?， 且从某一表象B到A表象的幺正变换33．已知算符A???00?1????i??2??1矩阵为S=??2?i?2?12012i?2??1??在B表象中的本征值及本征矢； 。试求（1）A?2?i???2??在B表象中的矩阵形式。 （2）A垐U?U?1?????iB?? ?34．设U为幺正算符U=(U+U)+i()?A2i2证明
? ，B?的共同本征态为|ab?，本征值分别为a，b，则u?a?ib，|u|=1，即a?b?1。 （1）设A22h2，其中a?cosh，b?sinh，h为实数； 从而u?ei?h1?itg21?itg?H1?itg?iH2 ?可以表为U?=e=（2）U?H1?th235..证明
（1）若一个N阶矩阵与所有的N阶对角矩阵都对易，则必为对角矩阵； （2）若一个N阶矩阵与所有的N阶矩阵都对易，则必为常数矩阵。 36．已知狄拉克表述中的右矢完备系|?i>（i =1，2，
??|????|。 ，n），投影算符定义为?iii15
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