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【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试，第19题，10分 【解析】 如下图是一个三角形的示意图，共经过了33个格点
（A）（B）
【答案】33个格点
模块二、三角形格点问题
1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．
2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有S?2?N?L?2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
【例 14】 如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形
ABC的面积．
ACBBAEFD(b)CBAⅡ'Ⅰ'ⅠⅢⅡⅢ'
AECRBHFD(d)GC(a)【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：如图(b)所示，在ABC内连接相邻的三个点成DEF，再连接DC、EA、FB后是ABC
可看成是由DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到SACD?2， SAEB?3，SFBC?4，所以S?1?2?3?4?10(面积单位)．
方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数
小正三角形的方法，求出ABC的面积为10．
方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而ABE的面积是
平行四边形ARBE面积的一半，即SAEB?3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而
ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即SS?1?2?3?4?10(面积单位)．
ACD
(c)
?2．平行四边形FBGC中有8
FBC个小正三角形，而FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S?4．所以
【答案】10
【巩固】 如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积．
ACB【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答
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【解析】 因为N?5；L?3：所以S?2?N?L?2?2?5?3?2?11(面积单位)． 【答案】11
【例 15】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．
【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ⑴ ∵L?7；N?7，∴S?2?N?L?2?2?7?7?2?19(面积单位)；
⑵ ∵L?5；N?8，∴S?2?N?L?2?2?8?5?2?19(面积单位)； ⑶ ∵L?6；N?7，∴S?2?N?L?2?2?7?6?2?18(面积单位)； ⑷ ∵L?7；N?8，∴S?2?N?L?2?2?8?7?2?21(面积单位)．
【答案】（1）19；（2）19；（）
【例 16】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线
所围成的三角形的面积．
（1）（2）（3）（4）
2 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答
【解析】 图中有1?3?5?7?9?11?13?15?64(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128?64?2，
图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；
图形的面积为：2?12?4?2?26(面积单位)，进而得图形的面积为：26?2?52．
【答案】52
【例 17】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
C①②A④③BCDBAD①
【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点
数，L为图形周界上格点数．
有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．
法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．
【答案】20平方厘米
【例 18】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____
平方厘米．
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【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 S?ABC?S?ABD?S?BCD?S?ACD?2?12?2?12?2?9?66(平方厘米) 【答案】66平方厘米
模块三、构造格点进行解题
【例 19】 图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．
APFAPF
BQCDEBQCDE【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，
△PEF面积?3，△CDE面积?9，四边形ABQP面积?11．上述三块面积之和为3?9?11?23．因此，阴影四边形CEPQ面积为54?23?31．
【答案】31
【例 20】 正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角
形MNP的面积是多少平方厘米？
AMBFPEBRCNDCNDSMAQFPE
【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个
小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6?24?0.25(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积?0.25?9?2.25(平方厘米)．
【答案】2.25
【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？
MNOP
【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起)的小三
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角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．
【答案】48平方厘米
【例 22】 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个
六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?
【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形
组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以
127每块为，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为．
12040
方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三角形面积为“1”，则B、
11C两种正三角形的面积依次为“”、“”．在图中：
981C
BA1140A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×+12×=．所
981272727以有“1”对应，而原来的正三角形即为三角形A，所以原来的正三角形的面积为.
404027【答案】
40
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(小学奥数)4-2-7 格点型面积.教师版
