流体力学复习资料 第一章 绪 论 1.1 流体力学及其任务
一、流体力学的研究对象
流体力学是一门技术基础课，也是水利工程、土木工程、环境工程、交通工程、建筑工程等专业的必修课程。学习流体力学课程必须具备物理学、理论力学和材料力学等基础知识。通过本课程的学习，要求能掌握液体平衡和液体运动的基本概念、基本理论和分析方法，能正确区分不同水流的运动状态和特点，掌握水流运动的基本规律，能解决实际工程中有关管流和明渠流的常见水力学问题，为今后学习专业课程、从事专业技术工作打下良好的基础。
流体力学——研究流体机械运动规律及其应用的科学。 （一）流体的定义
1．自然界物质存在的主要形态：固态、液态和气态； 2．具有流动性的物体（即能够流动的物体）；
流动性：在微小剪切力作用下汇发生连续变形的特性。 3．流体包括液体和气体； 4．流体与固体的区别；
① 固体的变形与受力的大小成正比；
② 任何一个微小的剪切力都能使流体发生连续的变形。 5．液体与气体的区别
① 液体的流动性小于气体； ② 液体具有一定的体积；
气体充满任何容器，而无一定体积。 （二）流体的特征：流动性
二、流体的连续介质假设 问题的引出：
① 微观：流体是由大量做无规则热运动的分子所组成，分子间存有空隙，在空间是不连续的。 ② 宏观：一般工程中，所研究流体的空间尺度要比分子距离大得多。 （一）流体的连续介质假设
1．定义：不考虑流体分子间的间隙，把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质。 2． 流体微团必须具备的两个条件 ① 必须包含足够多的分子；
② 体积必须很小，且具有一定质量。 （二）采用流体连续介质假设的优点
1．避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体的宏观运动。 2．可以利用数学工具来研究流体的平衡与运动规律。 三、流体力学的研究方法
流体力学研究方法：理论方法、数值方法和实验方法。
理论方法：建立理论模型，并运用数学方法求出理论结果。
数值方法：在计算机应用的基础上，采用各种离散化方法（有限差分法、有限元法等），建立各种数值模型，通过计算机进行数值计算和数值实验，得到要时间和空间上，许多数字组成的集合体，最终获得定量描述流场的数值解。
实验方法：通过对具体流体的观察和测量，来认识流体的规律。
1.2 作用在流体上的力
两类作用在流体上的力：表面力和质量力
一、表面力
——通过直接接触施加在接触表面上的力，分离体以外的流体通过流体分离体表面作用在流体上的力，其大小与作用面积成比。 （一）应力
——单位面积上的表面力。
??F?pn?lims?A?0?A
（二）法向应力和切向应力
?（设A为隔离体表面上一点，包含A点取微小面积?A，若作用在?A上有总表面力为?Fs）
?P 为?A上的平均压应力； ?A?P 为A点压应力，称为压强； pA?lim?A?0?A?T 为A点切应力。 ?A?lim?A?0?Ap?二、质量力
——以隔距离作用施加在每个质点上的力。例如：重力、惯性力、磁力。
单位质量力(m/s2)
??FfB?B?Xi??Y??Zk? jm，Y?FfB在各坐标轴的分量：X?Bxm若作用在流体上的质量力只有重力，则说明：
?FBym，Z?FBzm
X?0，Y?0，Z??mg??g。 mX、Y、Z也可相应用符号fx、fy、fz。
1.3 流体的主要物理性质
同流体有关的主要物理性质是惯性、粘性有压缩性 一、惯性
——物体保持原有运动状态的性质。质量是惯性大小的度量。 密度表征物体惯性的物理量。 （一） 流体的密度
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——单位体积流体所具有的质量。 均匀流体：?
⑴ 粘性切应力与速度梯度成正比； ⑵ 粘性切应力与角变形速率成正比； ⑶ 比例系数称动力粘度，简称粘度。
在上、下两流层间取矩形流体微团（质点）经dudtdud?dt，微团除有位移外，还发生剪切变形d?，
d??tan(d?)???（即速度梯度实为流体微团的剪切变形速度） d?dydt牛顿内摩擦定律可表示为：?dy ??dt③ 粘度
——流体粘性大小的度量,由流体流动的内聚力和分子的动量交换引起。 ⑴ 动力粘度 du???
dy，是流体粘性的度量，Pa.s，?越大越粘。不同温度水和空气的粘度见表。 ?——动力粘度（动力粘滞系数）
⑵ 运动粘度?
?? (m2/s)
?⑶ 粘度的影响因素
1）温度对流体粘度的影响很大
液体：分子内聚力是产生粘度的主要因素。
温度↑→分子间距↑→分子吸引力↓→内摩擦力↓→粘度↓ 气体：分子热运动引起的动量交换是产生粘度的主要因素。
温度↑→分子热运动↑→动量交换↑→内摩擦力↑→粘度↑
2）压力对流体粘度的影响不大，一般忽略不计 3．理想流体（无粘性流体）
理想流体——指无粘性即??0或??0的流体。
说明：理想流体是对流体简化的力学模型，一种理想的流体模型。对某些粘性影响很小的流动，能较好地符合实际；对粘性影响不能忽略的流体，可通过实验加以修正。 三、（可）压缩性和（热）膨胀性
（一）流体的压缩性
2——流体体积随着压力的增大而缩小的性质。它随温度和压强变化，用压缩系数k表示(m/N) 1．压缩系数
——单位压力增加所引起的体积相对变化量。 dV/V1dVk????
dpdV为体积减小量，由于液体受压体积减小，Vdp（dp为压强增量，dV与dp异号，所以右侧加负号，以使k为正
值） dVd?m??液体压缩前后，=不变，有 ?V1d?V?则 k? ? dp2．体积模量Kdpdp12??V??体积模量K——压缩系数的倒数，(N/m)，K? kdVd?（二）（热）膨胀性
——流体体积随着温度的增大而增大的性质。 1. 膨胀系数
——单位温度增加所引起的体积相对变化量。
液体的（热）膨胀性以（热）膨胀系数表示，表示在一定的压强下，温度增加1度，密度的相对减小率。 1dV1d?0??膨胀系数?V? (1/C或1/K)
VdT?dT（三）可压缩性流体和不可压缩性流体
1．可压缩性
——流体体积随着压力和温度的改变而发生变化的性质。 2．可压缩流体和不可压缩流体
?MV 单位：kg/m3
常见流体的密度：水——1000 kg/m3 空气——1.23 kg/m3 水银——136000 kg/m3 （二） 流体的相对密度
——流体的密度与4oC时水的密度的比值。
?fd??w式中，
?f——流体的密度（kg/m3）
?w——4oC时水的密度（kg/m3）
二、粘性
（一） 粘性的定义
——流体内部各流体微团之间发生相对运动时，流体内部会产生摩擦力（即粘性力）的性质。 1． 流体粘性所产生的两种效应
① 流体内部各流体微团之间会产生粘性力； ② 流体降粘附于它所接触的固体表面。 2．牛顿内摩擦定律
① 粘性的表象（牛顿平板实验）
当h和u不是很大时，两平板间沿y方向的流速呈线性分布，
u?UUy 或 du?dy hh
粘性是流体阻抗剪切变形速度的特性。
② 牛顿内摩擦定律 U实验表明：内摩擦力（切力）T与流速梯度
h接触面上的压力无关。 du即 T??A dudy????dudt以应力表示 d du?(dy)/dt?又， dtdydy牛顿内摩擦定律表明：
?du成比例；与流层的接触面积A成比例；与流体的性质有关；与dydudt A
a
B b
dy d?
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① 不可压缩流体：不考虑可压缩性的流体??常数； ② 可压缩流体：考虑可压缩性的流体??常数。 不可压缩流体与可压缩的液体：
体积弹性模数无穷大的流体被称为不可压缩的流体。严格的说，任何流体均为可压缩流体。但在许多流动情况下，流体压力变化所引起的密度变化极小，此时可视流体为不可压缩的流体，使问题得到简化。
液体的膨胀系数随压强和温度而变化，见表，可以看出：水的可压缩系数和热膨胀系数均很小，一般情况下，水的压缩性和膨胀性可忽略不计，但对某些特殊流动，必须考虑，如在压缩性起着关健作用的管道的水击要考虑水的压缩性。
1.4 牛顿流体和非牛顿流体
一、流变性
流变性——流体简单剪切流动时，剪应力与剪应变率的关系称为流变性，流体物料的力学性质。
流变?曲线——表示流变关系的曲线。斜率为牛顿流体的粘度，即???tan?。牛顿流体的流变曲线在一定温度和压力下是通过坐标
du/dya线）直线（右图中。 二、牛顿流体
——符合牛顿内摩擦定律的流体，如水、空气、汽油和水银等
牛顿流体的流变曲线在一定温度和压力下是通过坐标原点的直线（右图中a三、非牛顿流体
线）。 它反映
如爬杆现象（魏森贝格效应），挤出胀大现象（巴拉斯效应）。
第二章 流体静力学 2.1 静止流体中应力的特性
特性一：应力的方向和作用面的内法线方向一致。
可以这样来说明：静止流体，速度处处为零，没有速度梯度，也就没有切应力。此外流体不能承受拉应力。 特性二：静压强的大小与作用面方位无关。
表明静压力是各向同性的。 证明如下：
表面力：只有压力?Px、?Py、?Pz、?Pn
1质量力：?FBX?X?dxdydz
1 ?FBY?Y?6dxdydz
16?F?Z?dxdydz BZ11n,y)?Y??1dxdydz?0 ?6?py??dPxdz??P??Acos(??Pnn?X?n?dx?02?1xd6（?py?xdz??An1cos(3n,y)）
??2?Px?0 ?y?Pn?X??3d1同理：??Py??Pn?Y??dy?0 略去无穷小得（令四面体向点收缩）px?py?pz?pn O3? 1?原点的
——不符合牛顿内摩擦定律???的流体，如泥浆、血浆、新拌水泥砂浆、新拌混
dy凝土等。
其流变曲线不通过坐标原点。 （一）非时变性非牛顿流体
——流体的表观粘度只与剪应变率（剪应力）有关，与剪切作用持续时间无关。 非牛顿流体分为三类：
1．宾汉体[宾厄姆流体]（塑性流体）du 流变方程为：???B??P
dy?B——屈服应力；?P——塑性粘度；
流变曲线：上图b线，可见，宾汉体的流动特点是施加的切应力超过?B才能流动，并在流动过程中，切应力和剪切变形速度成线性关系。
n2．伪[拟]塑性流体 ?du?流变方程为：??k??dy?? n?1
——流变指数 ?k——稠度系数；n?流变曲线：上图中c线，由图可见，伪塑性流体的流动特点是随着剪切变形速度的增大，表观粘度降低，流动性增大，表现出流体变稀，又称为剪切稀化流体。
n3．膨胀流体 ?du?流变方程：??k??dy?? n?1 流变曲线：上图中?d线，由图可见，膨胀流体的流动特点是随着剪切变形速度的增大，表观粘度增大，流动性降低，?表现出流体增稠，又称为剪切稠化流体。 （二）时变性非牛顿流体
——流体的表观粘度不仅与剪应变率（或剪应力）有关，而且与剪切作用持续时间有关。
分为：触变流体：表观粘度随剪切作用持续时间而减小，如某些油漆、涂料。
触稠流体：表观粘度随剪切作用持续时间而增大，如某些乳悬浮液。
（三）粘弹性流体
——兼有粘性和弹性双重性质。
dudz?0z??Pn?Z????P?1?p32.2 （静止）流体平衡微分方程 ?f??x??x?0一、平衡微分方程式 ??11?p?1．公式：?fy??0 或 f??p?0
???y2．推导 ?以直角坐标系为例，在静止流体中任取一微元六面体，如图： ?f?1?p?0微元流体在质量力，表面力作用下平衡。以ｚ方向受力分析为例： ?z??z?表面力：下表面（对应坐标为ｚ）受力
上表面（对应坐标为ｚ+dz）受力
(ｐ+dp)dxdy。 质量力：力平衡方程：
。
。
。
?1?pf??x??x?0 ? 1?p?1?有 ? ? ??fy?????0 或 f??p?0
??k?y，为失性微分算子，称哈米尔顿算子。??i??j?
?x??y1??pz上两式为流体平衡微分方程（欧拉平衡微分方程）。表明，在静止流体中各点单位质量流体所受的表面力与质量力相
f??0平衡。 ?z??z?物理意义：在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。
适用范围：所有静止流体或相对静止的流体。
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?1?p ??pf??0?fxx?二. 平衡微分方程的全微分式（压强差公式） ??（平衡微分方程的积分）
三、等压面（等势面）
??p?xdpdxdz???x1?p ??p?ydy???z?0 ? ???fy ?dp??(fxdx?fydy?fzdz) ?fy???y上式为流体平衡微分方程的全微分式。??y ?物理意义：流体静压强的增量决定于质量力。 ??p?1?p?0通常流体的单位质量力是已知的，将其代入上式直接积分，可得静压强的分布。 ???fz?fz??z???z???p??x?p可以忽略，上式简化为
p?p0
三、压强的度量
1．绝对压强和相对压强
绝对压强——以完全真空为基准起算的压强，以pabs表示；
相对压强——以当地大气压pa为基准起算的压强，以p表示。p?pabs?pa
一般结构都处在当地大气压的作用下，采用相对压强能使计算简化，本特指，压强均为相对压强。 2．真空度
真空度——指绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值，以pv表示 pv?pa?pabs??p 四、测压管水头
1．测压管高度，测压管水头 p?c 流体静力学基本方程z??g式中：
z——某点在基准面以上的高度，称为位置高度或位置水头。是单位重量液体具有的相对于基准面的位置势能，即位能。 p——某点的绝对压强大于大气压时，液体沿测压管上升的高度hp，称为测压管?g高度或压强水头，是单位重量液体具有的压强势能，即压能。 ppp??ghp?hp??g
z?p——测压管水头，是单位重量液体具有的总势能。
z??g?c——表示静止液体中各点的测压管水头相等，测压管水头线是水平线，即
?g静止液体中各点单位重量液体具有的总势能相等。
2．真空高度
——当某点的绝对压强小于当地大气压（即处于真空状态）时，将一根竖直向下的破璃管插入液槽内，液槽内液体沿玻璃管上升的高度hv。 p?pabsppabs??ghv?pa?hv?a?v
1．定义
——流场中压强相等的各点组成的面，dp?0。 如自由液面和不同液体的分界面等皆为等压面。 2．微分方程 ?fdy?fdz?dp?fxdxyz???
dp?0fdx?fdy?fdz?0 或 f?dl??x?yz3．性质：等压面恒与质量力正交。????
f?dl?0? f?dl
2.3 重力场中流体静压强的分布规律
一、液体静压强基本方程
书如不
0
1．基本方程的两种表达式 （1）公式
p?pp0??gh z??c
?g上两式均为液体静压强基本方程式，分别以不同形式表示重力作用下液体静压强的分布规律。
（2）推导
如图：液体中任一点的压强，由式dp??(Xdx?Ydy?Zdz)得 质量力只有重力：X?Y?0，Z??g，?dp???gdz 积分得： p??gz?c? p ?p?0??g(z0?z)?p0??gh代入边界条件z?z0,p?p0，得c??p0??gz0 所以：? 2．物理意义
pc?ppz——位势能；??z? ?——压强势能z??chp； C——总势能。 ?g?g?g?g——在重力作用下的连续均质不可压所静止流体中，各点的单位重力流
能保持不变。 3．几何意义 pz——位置水头； ——压强水头； C——静水头。
?g——在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，静水头线为水平线。
4．推论
① 静压强的大小与液体的体积无直接关系；
② 两点的压强差，等于两点间竖向单位面积液体柱和重量。
pB?pA?p0??ghA?(p0??ghB)??g(hB?hA)??ghAB ③ 平衡状态下，液体内（包括边界上）任意点压强的变化，等值地传递到其它各点。面压强变化Δp0时，液体各点压强均相应变化Δp0值。
证明：平衡状态下，当A点压强增加?p，则 p?B?(pA??p)??ghAB?(pA??ghAB)??p?pB??p 二、气体静压强的计算
在不考虑压缩性时，
?g?g五、压强的计量单位
① 应力单位。Pa （1Mpa=10Pa）
② 液注单位。m水柱，mm水柱或汞柱。
2
③ 大气压单位。标准大气压符号atm，1atm=101325N/m。
2
工程大气压符号为at，1am=98000 N/m,1at?0.1Mpa
2.4* 液体的相对平衡
动。 容器以等
6
体的总势
p?p0? 流体相对于地球有相对运动，而流体微团及流体与容器壁之间没有相对运
以等角速旋转容器中液体的相对平衡为例说明这类问题的一般分析方法。?fx??2rcos???2x角速度ω旋转。 ?22?fy??rsin???y
如，表1．压强分布规律 ?2f??gdp??z?(?xdx??2ydy?gdz)
?积分?2r2?2x 2?2y2?z)?C p??(??gz)?C?p??g(2g22利用边界条件：
22r?0,z?z0,p?0??p0?C???gz0 ?pr?gh也适用于气体，但气体密度很小，在高度不很大时，气柱所产生的压强很小，?p?p0??g?(z0?z)?? 2g??流体力学第 4 页 共 27 页
2．等压面方程
dp??2xdx??2ydy?gdz?0 22??积分x ?2y2?2r222??gz?C??gz?C ?r??g(2r22?z)?C中令p?2（p?2常数，得等压面方程）
2gz??c （等压面方程） 2gz轴的旋转抛物面。 等压面是一簇绕
x2?0z?0C?0 自由液面：? 2r2222?gzs?C ???r?rz??z0） p?p（式p?p2中令，得自由液面方程??g(z?z)?s00?0?2g2g?3．与绝对静止情况比较?
① 等压面
?2c 2水平面； 绝对静止：z?r?gz?C旋转抛物面。 相对静止：
2② 压强分布
绝对静止：p?p0??gh
相对静止：p?p0??g(zs?z)?p0??gh
h——任一点距离自由液面的淹深
4．测压管水头 ?2r2p?2r2?z)?C得 z??c?由式p??g( p2g?gz?2gr一定）?c? 同一个圆柱面上（，测压管水头相等。
2.5 （静止）液体作用在平面上的总压力
一、水平平面上的液体总压力
各点压强大小：处处相等 各点压强方向：方向一致
F?pA??ghA 二、倾斜平面上的液体总压力
（2） 公式推导
Ix合力矩定理：合力对某轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。
2y?DPydP?y??gsin?ydA??gsin?Ix D?ycA将P??g(yCsin?)A代入上式得 AIxy ?Ix?Ic?yc2A (惯性矩的平行移轴定理)
x?D?dP?x??gsin?xydA??gsin?I 同理：PxDxyycAIc?g(ysin?)A将P?y代入上式得 Ayc?D?C ?Ixy?Ixyc?(惯性矩的平行移轴定理) ycxAcycA IyD?yc?Ic
xycxD?xc?ycA
ycAox轴的形心轴的惯性矩； Ic——受压面对平行于
Ixyc——受压面对平行于x,y轴的形心轴的惯性积。
yD——总压力作用点到0x轴的距离；xD——总压力作用点到0y轴的距离； yc——受压面形心到0x轴的距离；xc——受压面形心到0y轴的距离；
?????gaaaappppadadadda?? ? ?
h
bAcbAcbAcbAc
各点压强大小：处处不相等 各点压强方向：方向一致 （一）解析法（如右图） 1．总压力的大小 ① 公式
P??ghcA?pcA
hc——受压面形心点的淹没深度； pc——受压面形心点的压强。
结论：即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积心处的相对压强的乘积。 ② 公式推导
作用在微分面积dA上的压力：
dP?pdA??ghdA??g(ysin?)dA
作用在平面上的总压力（是平行力系的合力）：P?dP??gsin?A由工程力学知：ydA?ycA（受压面面积A对OX轴的静矩）
P??g(yCAsin?)A??ghcA?pcA
2．总压力的方向
总压力的方向垂直于受压的平面 3．总压力的作用点 （1）公式
（二）图算法
xD?xc?1．压强分布图 ycA对于通大气的开敞容器，液体的相对压强沿水深直线分布，把上、下两点的压强用线段绘出，中间以直线相连，就得到相对压强分布图。
2．图算法
步骤：
① 先绘出压强分布图；
② 求总压力P?b?S，b为矩形宽度，S为压强分布图的面积；
③ 总压力作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点为作用点。
2.6 液体作用在曲面上的总压力
各点压强大小：大小不等 各点压强方向：方向不同 一、曲面上的总压力
Ixyc
与其形
??ghcAx?pcAx Pz??gV
22总压力 P?Px?Pz
总压力作用线与水平面夹角：Pz Ptan?????arctanz
Px PxAx——曲面的铅垂投影面积；
hc——投影面Ax的淹没深度； pc——投影面Ax形心点的压强。
过px作用线（通过Ax压强分布图形心）和Px作用线（通过压心）的交点，作与水平面成?角的直线就是总压力作用线，该线与曲
1．基本公式：Px力体的形面的交点
???ydA
A即为总压力作用点。
2．推导
如上图：取条形微元EF，因各微元上的dP方向不同，所以不能直接积分求作用在曲面上的总压力。将dP分解分水平分力和铅垂分力
dPx?dPcos???ghdAcos???ghdAx
dPz?dPsin???ghdAsin???ghdAz Ax——EF在铅垂投影面上的投影
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【3347】流体力学复习资料
