=L[δ(t)]解：
∞∫∞0?δ=(t)e?stdt∞∫∞0?δ=(t)e0dt∞δ(t)dt?∫=0∞δ(t)dt1 ∫=?∞∞∞1?st1?st?st?stL[1(t)]=tetetee1()dd()d==?=?+++∫0∫0∫0ss0
11110Re(s)＞0）=?e?s∞+e?0=+=（解析域：ssssL[sinωt]=∫==∞01jωt1e?e?jωt)e?stdt=(2j2j(∫∞0ejωte?stdt?∫e?jωte?stdt0∞)11?11?1s+jω?s+jω?ejωt???L??e?jωt??=L??? ??=s2+ω22j2j?s?jωs+jω?2j{}（解析域：Re(s)＞0）s+ω2∞1∞1∞jωt?st?jωt?stjωt+=+L[cosωt]=eeeteete?jωte?stdtdd)(∫02∫∫02011?11?1s+jω+s?jω?jωtjωt??? +=+?eLe=L???=???s2+ω22?2?s?jωs+jω?2s（解析域：=2Re(s)＞0）s+ω22ω(){}e?(s?a)t1（解析域：Re(s)＞a） L[e]=eedtedt==?=∫0∫0s?a0s?aat∞at?st∞?(s?a)t∞n=L??t??∫∞0=tne?stdtΓ(n+1)n!=（解析域：Re(s)＞0） sn+1sn+15. 拉氏变换的性质以及对各种规则波形的拉氏变换。 解答：
（1）线性性质：若有常数K1，K2，函数f1(t)，f2(t)，且L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，则
式中，f(0)为t=0时的f(t)值。
进而可推出f(t)的各阶导数的拉氏变换：
[K1f1(t)+K2f2(t)]=K1L[f1(t)]+K2L[f2(t)]=K1F1(s)+K2F2(s)
（2）时域微分定理：若f(t)的拉氏变换为F(s)，则
(2-2) (2-3)
′(t)]sF(s)?f(0) L[f=L[f′′(t)]=s2F(s)?sf(0)?f′(0)
?nn?1n?2(n)(n?2)L?)?(0)?f(n?1)(0)=?f(t?sF(s)?sf(0)?sf′(0)???f (2-4)
式中，f (i)(0)（0＜i＜n）表示f(t)的i阶导数在t=0时的取值。
此定理需考虑在t＝0处是否有断点。如果在t＝0处有断点，f(0)≠f(0)，则该定理需修改成
－
＋
L+[f='(t)]sF(s)?f(0+)
L?[f='(t)]sF(s)?f(0?)
式中，f(0)为由正向使t→0时的f(t)值；f(0—)为由负向使t→0时的f(t)值。
＋
L+[f′′(t)]=s2F(s)?sf(0+)?f′(0+)?(n)nn?1n?2(n?2)(n?1)++++′??L+?f(t=)sF(s)?sf(0)?sf(0)??f(0)?f(0)??
L?[f′′(t)]=s2F(s)?sf(0?)?f′(0?)?(n)(n?2)nn?1n?2??)?(0?)?f(n?1)(0?)L??=?f(t?sF(s)?sf(0)?sf′(0)???f＋
式中f (i)(0)（0＜i＜n）表示f(t)的i阶导数在t从正向趋近于零时的取值。f (i)(0—)（0＜i＜n）表示f(t)的i阶导数在t从负向趋近于零时的取值。
当初始条件均为零时，即
f(0)=f′(0)=f′′(0)=?=f(n?1)(0)=0 则有
L[f'(t)]=sF(s)L[f\t)]=s2F(s)?(n)nL??f(t)??=sF(s)
（3）积分定理
若f(t)的拉氏变换为F(s)，则
F(s)1(?1)
+f(0)L?∫f(t=)dt???ss(2-5)
是对不定积分的拉普拉斯变换。式中f(?1)(0)是∫f(t)dt在t = 0时的值。
如果f(t)在t＝0处包含一个脉冲函数，则f(?1)(0+)≠f(?1)(0?)，此时，必须将上述定理修改如下：
L+?∫f(t=)dt???F(s)1(?1)++f(0) ssF(s)1(?1)?L??∫f(t=)dt?+f(0) ??ss式中f(?1)(0+)=∫f(t)dt依此类推
t=0+；f(?1)(0?)=∫f(t)dtt=0?。
11(?1)1(?2)L?∫∫f(t)(dt)2?=F(s)+f(0)+f(0) ??s2s2s1111L?∫∫?∫f(t)(dt=F(s)+nf(?1)(0)+n?1f(?2)(0)+?+f(?n)(0) )n?n??ssss如果f(?k)(0+)≠f(?k)(0?)，该定理也要修正成
1)n?L±?∫∫?∫f(t)(dt=F(s)+??sn1=nF(s)+stF(s)L?∫f(t)dt?= ?0???s1(?1)±11f(0)+n?1f(?2)(0±)+?+f(?n)(0±)nsss
1n1?k?∫f(t)(dt)?n∑n?k+1?∫?t=0±sk=1s对于定积分的拉普拉斯变换，如果f(t)是指数级的，则
依此类推
tt1L?∫∫f(t)(dt)2?=2F(s) ???00?sttt1L?∫∫?∫f(t)(dt)n?=nF(s) ???000?s如果f(t)在t＝0处包含一个脉冲函数，则∫+f(t)dt≠∫?f(t)dt，此时该定理修改如下：
00tL[f(t)]L+?∫+f(t)dt?=+ ???0?stttL[f(t)]L??∫?f(t)dt?=? ???0?sL+?∫+∫+?∫+f(t)(dt)n?=?00?0??tttL+[f(t)]sn
L??∫?∫??∫?f(t)(dt)n?=??0?00?（4）时域位移定理
tttL+[f(t)]sn若f(t)的拉氏变换为F(s)，且t < 0时，f(t) = 0，则对任一正实常数a，有
L[f(t?a)]=e?as?F(s)
f(t－a)为f(t)沿t轴平移(或者说延时)a，且有t＜a时，f(t?a)＝0。 （5）复域位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s)。对任一常数a（实数或复数），有
(2-6)
（6）初值定理
±at L??ef(t)??=F(s?a)(2-7)
若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且limsF(s)存在，则函数f(t)的初值为
s→∞
=f(0+)lim=f(t)limsF(s) +t→0s→∞(2-8)
即原函数f(t)在自变量t趋于零（从正向趋于零）时的极限值，取决于其象函数F(s)的自变量s趋于无穷大时sF(s)的极限值。
（7）终值定理
若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含jω轴的右半s平面内是解析的（这意味着当t→∞时f(t)趋于一个确定的值），则函数f(t)的的终值为
limf(t)=limsF(s)
t→∞s→0(2-9)
运用终值定理的前提是时间函数f(t)有终值存在。当f(t)是周期函数，如正弦函数sinωt时，由于它没有终值，故终值定理不适用。
（8）时域卷积定理
若F(s)=L[f(t)]，G(s)=L[g(t)] 则有
ttL?∫f(t?λ)g(λ)dλ?=F(s)?G(s) ??0??(2-10)
f(t)?g(t)，称作f(t)和g(t)的卷积。 式中，积分∫f(t?λ)g(λ)dλ=06. 用部分分式法求拉氏反变换。 解答：
（1）F(s)无重极点的情况
F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：
)F(s=KnK1K2B(s) =++?+A(s)s?p1s?p2s?pn(2-11)
式中K1、K2、…、Kn为待定系数（系数Ki为常数，称作极点s＝pi上的留数）。
Ki=B(pi)B(s)=(s?pi)A(s)A′(pi)s=pi(i=1,2,?,n) (2-12)
式中pi为A(s)＝0的根（即F(s)的极点），A′(pi)=求得各系数后，则F(s)可用部分分式表示
dA(s)。
dss=pi)F(s=KnK1K2B(s) =++?+A(s)s?p1s?p2s?pn(2-13)
?1?pit因L?1??=e，从而可求得F(s)的原函数为
?s?pi?
f(=t)L?1)][F(s=K1ep1t+K2ep2t+?+Kne=pnt∑??Keii=1npit ??(2-14)
当F(s)的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于f(t)是个实函数。若p1和p2是一对共轭复数极点，那么相应的系数K1和K2也是共轭复数，只要求出K1或K2中的一个值，另一值即可得。
（2）F(s)有重极点的情况
假设F(s)有r个重极点p1，其余极点均不相同，则
=(s)FB(s)B(s)=A(s)an(s?p1)r(s?pr+1)?(s?pn)KnK11K12K1rKr+1Kr+2=++?++++?+(s?p1)r(s?p1)r?1s?p1s?pr+1s?pr+2s?pn
式中K11、K12、…、K1r的求法如下：
=K11F(s)(s?p1)r=K12s=p1d?F(s)(s?p1)r???dss=p1
1d2?F(s)(s?p1)r?=K132??2!dss=p? (2-15)
11dr?1?F(s)(s?p1)r?=K1rr?1??(r?1)!dss=p1其余系数Kr＋1、K r＋2、…、Kn的求法与第一种情况所述的方法相同，即
B(pj)??()()(j=Kj=Fsspr+1,r+2,?,n) ?=j??s=pjA'(pj)求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为
?K?K12r?2f(t)L?1[=F(s)]?11tr?1+t+?+K1r?ep1t+Kr+1epr+1t+Kr+2epr+2t+?+Knepnt =(r?2)!?(r?1)!?7. 使用MATLAB函数求解原函数的方法。
8. 用拉氏变换求解微分方程，系统补函数和特解函数的概念。
解答：用拉氏变换解线性常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。
与初始条件有关的解称为补函数，与输入有关的解称为特解函数。
机械控制理论基础 董霞 月第 版 习题解答 第 章
