2020山东新高考数学二轮复习专题突破练17空间中的平行与空间角

∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为3.(1)证明 取AD的中点O,连接EO,OB.

∵E为PA的中点,O为AD的中点, ∴OE∥PD.

又∵BC∥AD,BC= AD,

∴四边形BCDO是平行四边形, ∴BO∥CD.

∵OE∥PD,BO∥CD,OE和BO是平面EBO内的两条交线, ∴平面EBO∥平面PCD. 又BE?平面PCD,

∴BE∥平面PCD.

(2)解 取BC的中点M,以 方向为正方向建立如图所示的空间直角系O-xyz.

则P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C ,0,则平面PCD的一个法向量为n1=(1,0,0), =- ,0. =(0,1,-1),

-

设平面PDC的一个法向量为n2=(x,y,z),则

- 不妨令x=1,则y= ,z=1,n2=(1, ),

11

∴|cos θ|=|cos|= ,则sin θ=

4.(1)证明 取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.

由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=2 ,可知△ABC,△DEF为等腰直角三角形,故OA⊥BC,O1F⊥DE,CD⊥DE,CD⊥DF,故CD⊥平面DEF,平面BCDE⊥平面DEF,所以O1F⊥平面BCDE.

同理OA⊥平面BCDE,

所以O1F∥OA,而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形, 所以AO1∥OF,所以AO1∥平面BCF,

又BC∥DE,故DE∥平面BCF,而AO1∩DE=O1, 所以平面ADE∥平面BCF. (2)解

以O为坐标原点,以过O且平行于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.

则有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2), =(-2,-2,0), =(-2,-2,2), =(-2,0,2). 故

n, n得 - - 取x=1得y=-设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),由

- 1,z=1,

故平面BCF的一个法向量为n=(1,-1,1). 设BD与平面BCF所成角为θ,则 ,n>| sin θ=|cos<

12

= - - -

故BD与平面BCF所成角的正弦值为 5.(1)证明 设AC∩BD=O,连接OE,OF.

∵四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE, ∴OE∥CF,∴EF=AO=CO,∴OF⊥平面ABCD.

设OA=a,OB=b,AE=c,以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则E(a,0,c),G ,0,B(0,b,0),C(-a,0,0),F(0,0,c).

=(-a,0,-c), =- ,- ,-c, =(0,b,-c),

设平面BCF的法向量为n=(x,y,z), - 则

- - 取z=b,得n=- ,c,b,

=-·-+ c+(-c)·∵n b=0,∴EG∥平面BCF.

(2)解 设AE=AB=2,∵∠BAD=60°,

∴OB=1,OA= , =(0,-2,0). ∴A( ,0,0),B(0,1,0),E( ,0,2),D(0,-1,0), =( ,-1,2), =( ,-1,0), 设平面ABE的法向量n=(x,y,z), 则

-

-

取x=1,得n=(1, ,0),

设平面BDE的法向量m=(x,y,z),

13

- 则

- 取x=2,得m=(2,0,- ), 设二面角A-BE-D的平面角为θ,则cos θ=

∴二面角A-BE-D的余弦值为 6.(1)证明 取PA的中点F,连接EF,BF.

因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF= AD. 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,

又BC= AD,所以EF",BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF, 又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面PAB.

(2)解 由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点, 的方向为x轴正方向,| |为单位长,建立如 =(1,0,-图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1, ), =(1,0,0). ),

=(x-1,y,z), =(x,y-1,z- ). 设M(x,y,z)(0

因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量, ,n>|=sin 45°,所以|cos< 即(x-1)2+y2-z2=0.

,则 又M在棱PC上,设 = x=λ,y=1,z=

14

-

,

①

②

-

由①②解得 (舍去),

-

所以M - ,从而 -

设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则

即

-

所以可取m=(0,- ,2). 于是cos= 因此二面角M-AB-D的余弦值为 7.(1)证明 连接BD交AC于点O,连接EO.

因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点. 又E为PD的中点,所以EO∥PB. EO?平面AEC,PB?平面AEC, 所以PB∥平面AEC.

(2)解 因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.

|为单位长,建立空间直角坐标如图,以A为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,| 系A-xyz,

15