又∵∠DCE＝∠GCE， ∴△FEC∽△EDC， ∴∵EC＝∴∴FE＝2
， ，
＝
＝3
，
13.（2019江苏常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝310．点P是AD的中点，点E在BC上，CE
＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__________．
【答案】6．
【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD＝10，然后由“AD＝3AB＝310．点P是AD的中点，点E
310DC1在BC上，CE＝2BE”，求得PD＝，CE＝210，这样由tan∠DEC＝?；第四步过点P作PH
2EC2⊥BD于点H，在BD上依次取点M、N，使MH＝NH＝2PH，于是因此△PMN是所求符合条件的图形；第
310PH2PHPD3?五步由△DPH∽△DBA，得，即，得PH＝，于是MN＝4PH＝6，本题答案为?10BABD2106．
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14.（2019?山东省滨州市）如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝
：7；④FB2＝OF?DF．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④．
【解析】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题．
①正确．只要证明EC＝EA＝BC，推出∠ACB＝90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF＝2OF，推出S△BOC＝3S△OCF即可判断． ③正确．设BC＝BE＝EC＝a，求出AC，BD即可判断． ④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC， ∴∠DCB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠DCB＝120°， ∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB＝∠DCB＝60°， ∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°， ∴△ECB是等边三角形， ∴EB＝BC， ∵AB＝2BC， ∴EA＝EB＝EC， ∴∠ACB＝90°，
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∵OA＝OC，EA＝EB， ∴OE∥BC，
∴∠AOE＝∠ACB＝90°， ∴EO⊥AC，故①正确， ∵OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴
＝
＝，
∴OF＝OB，
∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误， 设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝∴BD＝
a，
a：
a＝
：7，故③正确，
a，OD＝OB＝
＝
a，
∴AC：BD＝∵OF＝OB＝∴BF＝
a，
a，
∴BF2＝a2，OF?DF＝
a?（a+
a）＝a2，
∴BF2＝OF?DF，故④正确， 故答案为①③④．
15.（2019四川泸州）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为 ．
【答案】9√2
【解析】过D作DH⊥AC于H，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，
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∴AC＝BC＝15， ∴∠CAD＝45°， ∴AH＝DH， ∴CH＝15﹣DH， ∵CF⊥AE，
∴∠DHA＝∠DFA＝90°， ∴∠HAF＝∠HDF， ∴△ACE∽△DHC， ∴
????????
=
????????
，
∵CE＝2EB， ∴CE＝10， ∴
????15
=
15?????10
，
∴DH＝9， ∴AD＝9√2， 故答案为：9√2．
三、解答题
16.（2019?四川省凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：BD2＝AD?CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关
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键．
证明：（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD∽△BCD ∴
，可得结论；
∴BD2＝AD?CD
（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD?CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90° ∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA ∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD?CD，且CD＝6，AD＝8， ∴BD2＝48，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12 ∴MC2＝MB2+BC2＝28 ∴MC＝2∵BM∥CD ∴△MNB∽△CND ∴∴MN＝
，且MC＝2
，即可求MN的长．∵BM∥CD
17．（2019?山东泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；
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【必备】最新2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题24 相似三角形判定与性质(教师版)
