解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍）。
8.（2019四川巴中）如图?ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（ ）
A．2：3 【答案】D．
【解析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 设DE＝x， ∵DE：AD＝1：3， ∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝3x， ∵点F是BC的中点， ∴CF＝BC＝x， ∵AD∥BC， ∴△DEG∽△CFG， ∴
＝（
）2＝（
）2＝ B．3：2
C．9：4
D．4：9
9.（2019年四川省遂宁市）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论： ①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝其中正确的有（ ）
．
A．①②③
B．②③④ C．①③④ D．①②④
11
【答案】D．
【解析】由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB＝60°，从而判断①；证∠DBP＝∠DPB＝135°可判断②；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD＝
x，CQ＝2QE＝2x，CE＝
，根据S△BDP
x，由CE+DE＝CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP＝DQ＝＝BD?PDsin∠BDP求解可判断④．
∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形， ∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD， ∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确； ∵∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴∠DBP＝∠DPB＝135°， 又∵∠PDB＝∠BDH，
∴△BDP∽△HDB，故②正确； 如图，过点Q作QE⊥CD于E，
设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x，
∴CE＝
x，
由CE+DE＝CD知x+x＝1，
解得x＝，
∴QD＝x＝，
∵BD＝
，
∴BQ＝BD﹣DQ＝﹣＝，
则DQ：BQ＝
：
≠1：2，故③错误；
∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°， ∴∠PDQ＝30°， 又∵∠CPD＝75°，
12
∴∠DPQ＝∠DQP＝75°， ∴DP＝DQ＝
，
×
×＝
，故④正确。
∴S△BDP＝BD?PDsin∠BDP＝×二、填空题
10.（2019?浙江宁波）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ．
【答案】6.5或3．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18， ∴AB＝
＝6
， 在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5， ∴AD＝
＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6， 过P作PH⊥BC于H， 则PH＝6， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴PH∥AC， ∴△DPH∽△DAC， ∴， ∴
＝
，
∴PD＝6.5， ∴AP＝6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6， 过P作PG⊥AB于G， 则PG＝6，
13
∵AD＝BD＝13， ∴∠PAG＝∠B， ∵∠AGP＝∠C＝90°， ∴△AGP∽△BCA， ∴∴∴AP＝3
， ＝
， ，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切， 综上所述，AP的长为6.5或3故答案为：6.5或3
．
，
11. 2019黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为________． 【答案】3或
24. 7【解析】在△BDE中，∠B是锐角，∴有两种可能，∠DEB或∠EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.
如图1，∠DEB是直角时，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC=102?62=8,设CD=x，则BD=8-x，
由折叠
知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴如图2，∠EDB是直角时，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴
的长 为3或
ACDE6x，即?，解得x=3; ?ABDB108?x24ACED6x,即?，解得x=，综上，CD?7CBDB88?x24. 7 14
AAEFECDBC
图2
DB
图1
12．（2019?山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF
沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 ．
【答案】2
．
【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．
连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度． 如图，连接EC， ∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3∵E为AD中点， ∴AE＝DE＝AD＝6 由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D， ∴GE＝DE， ∴EC平分∠DCG， ∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE， ∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°， ∴∠FEC＝∠D＝90°，
15
，
【必备】最新2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题24 相似三角形判定与性质(教师版)
