专题24 相似三角形判定与性质
专题知识回顾
1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
2．三角形相似的判定方法:
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质:
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019?海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
1
A.
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． ∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴AC＝∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD， ∴∠QBD＝∠BDQ， ∴QB＝QD， ∴QP＝2QB， ∵PQ∥AB， ∴△CPQ∽△CAB， ∴
＝
＝
，即，
＝
＝
，
＝3，
解得，CP＝
∴AP＝CA﹣CP＝
【例题2】（2019?四川省凉山州）在?ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是 ． 【答案】4：25或9：25．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
2
分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． ①当AE：ED＝2：3时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AE：BC＝2：5， ∴△AEF∽△CBF，
∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25； ②当AE：ED＝3：2时，
同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25。
【例题3】（2019?湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
【答案】楼的高度OE为32米．
【解析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M， 连接GF并延长交OE于点H， ∵GF∥AC， ∴△MAC∽△MFG， ∴即：∴∴OE＝32
， ，
，
3
【例题4】（2019年广西梧州市）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H． （1）求DE的长； （2）求证：∠1＝∠DFC．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出△ADE∽△FCE，则可求出DE长；
∵矩形ABCD中，AD∥CF， ∴∠DAF＝∠ACF， ∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF＝∠CAF， ∴∠FAC＝∠AFC， ∴AC＝CF， ∵AB＝4，BC＝3， ∴
∴CF＝5，
4
，
＝＝5，
∵AD∥CF， ∴△ADE∽△FCE， ∴
，
，
设DE＝x，则解得x＝ ∴
；
（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则∠AHC＝∠DFC，结论得证． ∵AD∥FH，AF∥DH， ∴四边形ADFH是平行四边形， ∴AD＝FH＝3， ∴CH＝2，BH＝5， ∵AD∥BH， ∴△ADG∽△HBG， ∴∴∴DG＝
， ， ，
，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据DF∥AH，可得
∵DE＝， ∴
＝，
∴EG∥BC， ∴∠1＝∠AHC， 又∵DF∥AH， ∴∠AHC＝∠DFC， ∠1＝∠DFC．
【例题5】（2019年湖南省张家界市）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． （1）求证：BF＝CF；
（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
5
【必备】最新2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题24 相似三角形判定与性质(教师版)
