考点21 圆锥曲线的综合应用（1）
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
xy
1、(2019南京学情调研） 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝4x的准线与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)
ab
2
2
2
的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是________．
xy
2、(2019南京、盐城二模） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y＝4x与双曲线－2＝1(b>0)
4b
2
2
2
的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为________．
y2x2
3、(2017常州期末）已知抛物线x＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Qab2
是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．
4、(2017无锡期末）设点P是有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2＝3e1，则e1＝________.
【问题探究，变式训练】
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
知识点拨：研究直线与椭圆的位置关系问题，其关键在于其交点的研究手段，一般地，有两种途径来处理交点，一是直接设出交点的坐标，利用交点在曲线上来得到相关的等量关系，通过此等量关系来研究问题；二是设直线方程，由直线方程与椭圆方程联立成方程组，将问题转化为一元二次方程的根来加以研究．
22xy1?3?例1、(2019苏州期初调查）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P?1，?ab2?2?
为椭圆上一点．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．
x2
【变式1】(2019通州、海门、启东期末）如图，A是椭圆＋y＝1的左顶点，点P，Q在椭圆上且均
4在x轴上方，(1) 若直线AP与OP垂直，求点P的坐标；
3
(2) 若直线AP，AQ的斜率之积为，求直线PQ的斜率的取值范围．
4
2
xy
【变式2】(2019南京、盐城一模）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两焦点之间的距离为2，两条准线
ab间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆交于P，Q两点．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设椭圆的左顶点为A，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2. ①若m＝0，求k1k2的值； 1
②若k1k2＝－，求实数m的值．
4
xy
【变式3】(2018南通、泰州一调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离
ab心率为
2
，两条准线之间的距离为42. 2
2
2
2
2
(1) 求椭圆的标准方程；
822
(2) 已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x＋y＝上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积
9是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．
xy
【变式4】(2018南京、盐城、连云港二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b
ab＞0)的离心率为
2
，上顶点A到右焦点的距离为2.过点D(0，m)(m≠0)作不垂直于x轴，y轴的直线l交2
2
2
椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⊥OC.
(1) 求椭圆E的方程； (2) 求实数m的取值范围；
S18
(3) 延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1，S2，若＝，求直线l的方程．
S23
题型二 圆锥曲线中的定点问题
知识点拨：探索圆锥曲线的定点问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊直线或者曲线方程确定点，再证明直线或曲线过改点；②根据直线或者曲线方程直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点·
xy2
例2、(2019苏北三市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，ab2且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m∈(0，2))的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.
(1) 求椭圆C的标准方程．
(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
2
2
2020年高考数学二轮优化提升专题训练 考点21 圆锥曲线的综合应用(1)(原卷版)
