【新教材】1.5 全称量词与存在量词 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.5全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

本课是高中数学第一章第5节，学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，理解起来可能不是很好理解。否定词是学生容易忽略的，应提醒学生。以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。

课程目标 A.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． B.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． C.会写全称量词命题和存在量词命题的否定。 D. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力． 学科素养 1.数学抽象：全称量词与存在量词的含义； 2.逻辑推理：全称量词命题和存在量词命题的真假； 3..直观想象：全称量词命题和存在量词命题的否定。

1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定； 2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。

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教学过程 一、情景引入，温故知新 情景1：德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数．从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题．要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例． 情景2：我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件： （1）所有学生都来自高二年级； （2）至少有30名学生来自高二.一班； 落实核心素养目标 通过实例，让学生感知、了解全称量词、存在量词。让学生了解量词对实际生活和数学的作用，提高学生用数学的思维方式思考并解决问题的能力。 （3）每一个学生都有固定表演路线. 结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词. 二、探索新知 通过思考，理解全称量词、全称量词命题的含义，教会学

探究一 全称量词命题的含义 1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3 (2)2x+1是整数 (3)对所有的x?R,x>3 (4)对任意一个x?Z,2x+1是整数 【答案】（1）不是 (2)不是 (3) 是 （4）是 关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定. 2、归纳新知 （1）全称量词及表示: 定义：短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。 表示：用符号“?”表示。 （2）全称量词命题及表示: 定义：含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:?x?M,p(x)。 读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。 例如:命题(1)对任意的n?Z,2n+1是奇数; (2)所有的正方形都是矩形。都是存在量词命题。 3.练习：用量词“ ? ”表达下列命题: (1)实数都能写成小数形式; (2)凸多边形的外角和等于2?； （3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。 【解析】（1）?x?R,x能写成小数形式; （2）?x? {x|x是凸n边形},x的外角和等于2?; (3)?x?R,x·(-1)= -x. 例1.判断下列全称量词命题的真假 生解决和研究问题。 通过练习进一步巩固全称量词的含义，提高学生解决问题的能力。 通过例题进一步巩固全称量词命题的含义，学会判断全称量词命题的真假，提高学生解决问题的能力。 通过思考，总结方法，提高学生分析问题、总结问题的能力。 通过思考，理解存在量词、存在量词命题的含义，教会学生解决和研究问题。

(1) 所有的素数都是奇数; (2) ?x?R, |x|+1≥1 (3) 对每一个无理数x,x也是无理数 【解析】（1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题; (2)∵?x?R,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题; 22 固存在量词命题的含义，提高学生解决问题的能力。 通过例题，使学生学会区别全称量词命题及存在量词命题，提高学生的抽象概括能力。 通过例题进一步巩（3）∵2是无理数,但2?2是有理数，,∴全称命题(3)是假命题; 通过练习进一步巩4、思考：如何判断全称量词命题的真假？ 【解析】若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。 探究二 存在量词命题的含义 1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 【解析】(1)不是 （2）不是 （3）是 （4）是 关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一固存在量词命题的个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 含义，学会判断存在2.存在量词命题的定义 （1）存在量词及表示: 定义：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。 表示：用符号“?”表示。 （2）存在量词命题及表示： 定义：含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”. 3.练习：下列命题是不是存在量词命题？ （1）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数 量词命题的真假，提高学生解决问题的能力。 通过思考，总结判断命题真假的方法，提高学生分析问题、总结问题的能力。 介绍新定义，为进一步讲解全称量词命题和存在量词命题的否定打基础。

【答案】都是存在量词命题。 4.练习： 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“?x∈R,q(x)” 【解析】存在实数x,使x2=x成立； 至少有一个x∈R,使x2=x成立； 对有些实数x,使x2=x成立； 有一个x∈R,使x2=x成立； 对某个x∈R,使x2=x成立。 通过思考，总结写全称量词命题否定的方法，提高学生分析、解决问题的能力。去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。 通过例题进一步理解怎么写全称量词命题的否定。 通过思考，总结写存在量词命题的否定的方法，提高学生分析、解决问题的能力。去体验知识方例2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。 (1) 有一个实数a，a不能取倒数； (2) 所有不等式的解集A,都是A?R； (3) 有的四边形不是平行四边形。 【解析】（1）存在量词命题 （2）全称量词命题 （3）存在量词命题 例3 判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 【解析】(1)由于 ??22?4?3??8?0， , 因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。 （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 5.思考：如何判断存在量词命题的真假 【答案】要判断存在量词命题“?x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题. 探究三 全称量词命题和存在量词命题的否定 1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，法。发现并提出数学这一新命题称为原命题的否定。 牛刀小试：说出下列命题的否定。 （1） 56是7的倍数； 问题，应用数学语言予以表达。