圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第4章不定积分4.1复习笔记一、不定积分的概念与性质1.原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,则在区间I上存在可导函数F(x)使对任意x∈I都有F′(x)=f(x),即连续函数一定有原函数。2.基本积分表?kdx?kx?C?k是常数?x??1
?xdx???1?C????1??dx
?x?lnx?Cdx?1?x2?arctanx?C?
dx1?x2?arcsinx?C
?cosxdx?sinx?C?sinxdx??cosx?C
dx2
?cos2x??secxdx?tanx?Cdx2
?csc?sin2x?xdx??cotx?C
1/159圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?secxtanxdx?secx?C?cscxcotxdx??cscx?C
xx
edx?e?C?
ax
?adx?lna?C
x
3.不定积分的性质(1)性质1设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx??
注:性质1对于有限个函数都是成立的。(2)性质2设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则?kf?x?dx?k?f?x?dx
二、换元积分法1.第一类换元法设f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元公式?f[?(x)]??(x)dx?[?f(u)du]
u??(x)
2.第二类换元法设x=ψ(t)是单调的可导函数,并且ψ′(t)≠0又设f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数,则有换元公式2/159圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?f(x)dx?[?f[?(t)]??(t)dt]?t?
?1(x)
其中ψ-1(t)是x=ψ(t)的反函数。三、分部积分法1.分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)均有连续导数,则?udv?uv??vdu
2.运用分部积分法需注意(1)v要容易求得;(2)vdu要比udv容易积出;??
(3)遵循“反对幂指三”原则:在用分部积分法计算积分时,若出现反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数及相关函数,把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序,排在前面的看成“u”,排在后面的看成“dv”。【例】1x21x2x211?x2?12
?xarctanxdx?2?arctanxd?x??2arctanx?2?1?x2dx?2arctanx?2?1?x2dx
x21?1?x21?arctanx???1?dx?arctanx??x?arctanx??C?22?1?x2?2211
??x2?1?arctanx?x?C22
3.常见函数的不定积分?tandx??lncosx?C
3/159圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?cotdx?lnsinx?C
?secxdx?lnsecx?tanx?C?cscxdx?lncscx?cotx?C
dx1x?arctan?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?C
???dxdxa2?x2?arcsin
x
?Cax2?a2dxx2?a2?lnx?x2?a2?C
???lnx?x2?a2?C
四、有理函数的积分1.有理函数的积分(1)真分式的分解真分式P(x)/Q(x),若分母可以分解为Q1(x)Q2(x)的乘积,且Q1(x)与Q2
(x)没有公因式,则它可分拆成P(x)/Q(x)=P1(x)/Q1(x)+P2(x)/Q2(x)。注:若Q1(x)或Q2(x)能够继续分解,则可再分拆成更简单的部分分式。直到有理函数的分解式中只有多项式、P1(x)/(x-a)k、P2(x)/(x2+px+q)l等三类函数(这里p2-4q<0,P1(x)为小于k次的多项式,P2(x)为小于2l次的多项式)。2.有关sinx、cosx、tan(x/2)之间的转化公式4/159圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台2tan
xx2tan
xx2?2sinx?2sincos?22sec2x1?tan2x22xx
1?tan21?tan2
xx2?2cosx?cos2?sin2?
xx22sec21?tan2223.可化为有理函数的积分举例【例】2u?2du?
1???1?sinx1?1?u2?1?u21??dx??u?2??du??sinx?1?cosx??2u?1?u2?2??u??
1???1?u2?1?u2?
?
1xx1xtan2?tan?lntan?C42222?1?u2
?2u?lnu???C2?2?
其中u=tan(x/2)(-π<x<π)4.求有理函数积分方法总结(1)对能化简成多个真分式之和的有理函数,先化简,然后对每个真分式分别求积分,最后求出积分和。(2)如果被积函数中含有简单根式nax?b或nax?b可以令这个简单根式为u。cx?d4.2课后习题详解习题4-1不定积分的概念与性质1.利用导数验证下列等式:5/159
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(4-6章)【圣才出品】
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