圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第4章不定积分4.1复习笔记一、不定积分的概念与性质1．原函数存在定理如果函数f（x）在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F（x）使对任意x∈I都有F′（x）＝f（x），即连续函数一定有原函数。2．基本积分表?kdx?kx?C?k是常数?x??1
?xdx???1?C????1??dx
?x?lnx?Cdx?1?x2?arctanx?C?
dx1?x2?arcsinx?C
?cosxdx?sinx?C?sinxdx??cosx?C
dx2
?cos2x??secxdx?tanx?Cdx2
?csc?sin2x?xdx??cotx?C
1/159圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?secxtanxdx?secx?C?cscxcotxdx??cscx?C
xx
edx?e?C?
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?adx?lna?C
x
3．不定积分的性质（1）性质1设函数f（x）及g（x）的原函数存在，则?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx??
注：性质1对于有限个函数都是成立的。（2）性质2设函数f（x）的原函数存在，k为非零常数，则?kf?x?dx?k?f?x?dx
二、换元积分法1．第一类换元法设f（u）具有原函数，u＝φ（x）可导，则有换元公式?f[?(x)]??(x)dx?[?f(u)du]
u??(x)
2．第二类换元法设x＝ψ（t）是单调的可导函数，并且ψ′（t）≠0又设f[ψ（t）]ψ′（t）具有原函数，则有换元公式2/159圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台?f(x)dx?[?f[?(t)]??(t)dt]?t?
?1(x)
其中ψ－1（t）是x＝ψ（t）的反函数。三、分部积分法1．分部积分法设函数u＝u（x）及v＝v（x）均有连续导数，则?udv?uv??vdu
2．运用分部积分法需注意（1）v要容易求得；（2）vdu要比udv容易积出；??
（3）遵循“反对幂指三”原则：在用分部积分法计算积分时，若出现反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数及相关函数，把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”。【例】1x21x2x211?x2?12
?xarctanxdx?2?arctanxd?x??2arctanx?2?1?x2dx?2arctanx?2?1?x2dx
x21?1?x21?arctanx???1?dx?arctanx??x?arctanx??C?22?1?x2?2211
??x2?1?arctanx?x?C22
3．常见函数的不定积分?tandx??lncosx?C
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?secxdx?lnsecx?tanx?C?cscxdx?lncscx?cotx?C
dx1x?arctan?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?C
???dxdxa2?x2?arcsin
x
?Cax2?a2dxx2?a2?lnx?x2?a2?C
???lnx?x2?a2?C
四、有理函数的积分1．有理函数的积分（1）真分式的分解真分式P（x）/Q（x），若分母可以分解为Q1（x）Q2（x）的乘积，且Q1（x）与Q2
（x）没有公因式，则它可分拆成P（x）/Q（x）＝P1（x）/Q1（x）＋P2（x）/Q2（x）。注：若Q1（x）或Q2（x）能够继续分解，则可再分拆成更简单的部分分式。直到有理函数的分解式中只有多项式、P1（x）/（x－a）k、P2（x）/（x2＋px＋q）l等三类函数（这里p2－4q＜0，P1（x）为小于k次的多项式，P2（x）为小于2l次的多项式）。2．有关sinx、cosx、tan（x/2）之间的转化公式4/159圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台2tan
xx2tan
xx2?2sinx?2sincos?22sec2x1?tan2x22xx
1?tan21?tan2
xx2?2cosx?cos2?sin2?
xx22sec21?tan2223．可化为有理函数的积分举例【例】2u?2du?
1???1?sinx1?1?u2?1?u21??dx??u?2??du??sinx?1?cosx??2u?1?u2?2??u??
1???1?u2?1?u2?
?
1xx1xtan2?tan?lntan?C42222?1?u2
?2u?lnu???C2?2?
其中u＝tan（x/2）（－π＜x＜π）4．求有理函数积分方法总结（1）对能化简成多个真分式之和的有理函数，先化简，然后对每个真分式分别求积分，最后求出积分和。（2）如果被积函数中含有简单根式nax?b或nax?b可以令这个简单根式为u。cx?d4.2课后习题详解习题4-1不定积分的概念与性质1．利用导数验证下列等式：5/159
同济大学数学系《高等数学》第7版笔记和课后习题含考研真题详解(4-6章)【圣才出品】
