关于第二个重要极限的一种简便证明

关于第二个重要极限的一种简便证明

李艳午， 黄家云

【摘 要】 利用对数技巧elnx=x(x>0),对第二个重要极限给出了一种较为简便的证明.本文作为应用,解决了一类具有一定难度的未定式极限问题. 【期刊名称】山西师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2016(030)001 【总页数】2

【关键词】 重要极限; 对数技巧; 单调有界准则 【文献来源】

https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_journal-shanxi-normal-

university-natural-science-edition_thesis/0201250627594.html

两个重要极限代表了“未定式”极限的两种重要模型,利用它们可以解决两类复杂的未定式极限.因此,两个重要极限，在函数的极限中占有重要地位.关于两个重要极限的证明,比较经典的方法是分别利用极限存在的两个准则即“两边夹准则”和“单调有界性准则”[1,2].

文献[1,2]利用“单调有界性准则”，证明重要极限的过程和思想基本类似,都是分两步完成的.第一步,证明数列单调递增;第二步,证明该数列有界.然而,这两步证明的过程都较为复杂,涉及到了不等式放缩的高度技巧.同时,文献在完成了上述两个步骤的证明之后,根据极限存在的第二个准则,只能说明重要极限存在,然后就指明该极限为e,并交代这里的e是欧拉常数.这种证明过程,在逻辑上存在着缺陷:为什么这个极限等于∞而不等于其他的常数?

本文试图利用取对数的技巧,并结合罗必塔法则,对第二个重要极限给出一种较为简便的证明，然后,作为应用再利用这种技巧解决一个未定式极限.