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由于则
1≤k≤2, 25≤t≤5, 42
2
所以|AB|+|DE|=t(4t-2)+
2
251+ 8t4251=4t-2t++,
8t4251?5?,5?, +,t∈?8t4?4?设g(t)=4t-2t+
2
因为g′(t)=8t-2-
25, 28t所以当t∈
?5??5?,5时,g′(t)≥g′??=6, ??4???4??5?,5?上是增函数, ?4??即函数g(t)在t∈
513时,g(t)取到最小值, 42113因此,当k=时,|AB|+|DE|取到最小值.
22所以当t=
2
2
x2y22.(2012年广东卷,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: 2+2ab1
=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y=4x相切,求直线l的方程.
2
解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0), 所以c=1.
x2y2将点P(0,1)代入椭圆方程2+2ab得
=1,
1b2=1,即b=1.
2
2
2
所以a=b+c=2.
x2所以椭圆C的方程为
21
+y=1.
2
(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0, 设直线l的方程为y=kx+m,
?x22??y?1,由?2 ?y?kx?m,?精品资料
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消去y并整理得(1+2k)x+4kmx+2m-2=0.
2
2
2
因为直线l与椭圆C1相切, 所以Δ1=16km-4(1+2k)(2m-2)=0.
222
2
2
整理得2k-m+1=0.①
2
?y2?4x,由?消去y并整理得kx+(2km-4)x+m=0. ?y?kx?m,22
2
因为直线l与抛物线C2相切, 所以Δ2=(2km-4)-4km=0,
2
22
整理得km=1.②
??22,,?k???k?综合①②,解得?2 2或??m?2,?m??2.??所以直线l的方程为y=
22x+2或y=-
22x-2.
x2y23.(2010年江西卷,理21)设椭圆C: 2+2ab1
=1(a>b>0),抛物线C2:x+by=b.
2
2
(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率; (2)设A(0,b),Q（3 b）,且△QMN的重心在C2上,
3,
53b）,又M,N为C与C不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,441
2
求椭圆C1和抛物线C2的方程.
解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0), 可得c=b,
2
2
由a=b+c=2c,
2
2
2
2
c21有2=, a2所以椭圆C1的离心率e=
2. 2(2)由题设可知M,N关于y轴对称, 设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),
ruuuuruuu则由△AMN的垂心为B,有BM·AN=0.
所以-x1+（y1-23b）(y-b)=0.① 41
由于点N(x1,y1)在C2上, 故有x1+by1=b.②
2
2由①②得y1=-
b或y=b(舍去), 41
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所以x1=
5252b,
故M（-b,-
5b）,N（
24b,-
b）, 4所以△QMN的重心坐标为（3,b）. 4b2由重心在C上得3+
42
=b,
2
所以b=2, M（-5,-
11）,N（5,-）. 22?1?????2?+
42又因为M,N在C1上,
?5??所以
a2
解得a=
2
2
=1,
16. 31
x2所以椭圆C的方程为
1632
+
y24=1.
抛物线C2的方程为x+2y=4.
考点三 双曲线与抛物线的综合问题及解法
11.(2013年山东卷,文11)抛物线C:y=
2p1
x2x(p>0)的焦点与双曲线C:
32
2
-y=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1
2
在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p等于( )
(A)
316 (B)
38 (C)
233 (D)
43 3解析:如图在同一坐标系中画出C1、C2草图,知C1焦点F（0,C2右焦点F2(2,0).
p）, 2
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由C2渐近线方程为y=±
33x.
直线FF2方程为
x+22
12?y?x,①?2px?=1.联立C与直线FF方程得? px2y???1,②2??2p1
2
2
①代入②得2x+px-2p=0.
2
设M(x0,y0), 即2x0+px0-2p=0.③
2
2
2由C1得y′=
1x, pp.④
所以
331x=,即x=
33p0
0
由③④得p=答案:D
43.故选D. 32.(2012年新课标全国卷,理8)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y=16x的准线交于A、B两点,|AB|=4则C的实轴长为( ) (A)2
3,
2
2
(B)22
2
2
(C)4 (D)8
解析:设双曲线的标准方程为x-y=λ(λ>0), 抛物线y=16x的焦点是(4,0), 由题意知,点(-4,23)在双曲线上.
∴16-12=λ,即λ=4, ∴实轴长为4. 故选C. 答案:C
x2y23.(2012年福建卷,理8)已知双曲线-4b2于( ) (A) =1的右焦点与抛物线y=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等
2
5 (B)42
2
2
2
2
(C)3 (D)5
解析:抛物线y=12x的焦点是(3,0), ∴c=3,b=c-a=5.
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∴双曲线的渐近线方程为y=±
52x,
焦点(3,0)到y=±故选A. 答案:A
52x的距离d=
353=5.
x2y24.(2012年山东卷,文11)已知双曲线C: 2-2ab1
=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近
2
线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
(A)x=2
83y 3 (B)x=2
163y (C)x=8y (D)x=16y 32
2
c2c解析:由e==2得4=2aab2∴2a=3.
b2=1+2, a∴双曲线的渐近线方程为y=±3x,抛物线x=2py的焦点是（0,
2
p）, 2?它到直线y=±∴p=8.
∴抛物线方程为x=16y.
2
3x的距离d=2=
p22=
p, 4故选D. 答案:D
x2y25.(2010年天津卷,文13)已知双曲线2-2ab=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点与抛物线y=16x的焦点
2
相同,则双曲线的方程为 .
x2y2解析:由双曲线2-2ab∴b==1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=3x得
b=3, a3a.
2
∵抛物线y=16x的焦点为F(4,0), ∴c=4. 又∵c=a+b,
2
2
2
∴16=a+(2
3a),
2
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圆锥曲线与方程专题：圆锥曲线的综合问题(教师版)
